第二章 极限
1、数列极限
1.1 数列
定义：依照某种规则排列着的一列数(x_1,x_2,x_3,…,x_n)称为数列，记做{(x_n)},数列中每一个数叫做数列的项，(x_n)叫做数列的一般项。
我们可以把数列{(x_n)}中的(x_n)看作自变量为正整数(n)的一个函数值 (x_n=f(n),n=1,2,3,...)，因此，数列也是函数，它的定义域为全体正整数。
1.2 数列极限
对于数列{(x_n)}，当 (n→∞)时，(x_n)能与某一个常数(a)无限地接近时，这时我们就说数列{(x_n)}，当 (n→∞)时的极限为(a)。
定义：设有数列{(x_n)}，如果对于预先给定的任意小的正数(ε)，总存在正整数N，使得对于一切(n>N)时，有 (|x_n-a|<ε)则称(a)为数列{(x_n)}的极限，或说数列收敛于(a)，记作 (lim_{n
ightarrow+infty}x_n=a)，或当(n→∞)时候，(x_n→a).如果序列没有极限，则说数列是发散的。
数列极限的这种定义叫做数列极限的“(ε-N)”定义。这里(ε)是任意给定的正数，它主要用于反映(x_n)和常数(a)的接近程度；(N)是一个自然数，其与预先给定的(ε)有关，当(ε)减小时，一般地说，(N)将会相应地增大。此外，对于一个(ε)，与其相应的N并不是唯一的。
定理1 如果数列{(x_n)}收敛，则其极限是唯一的。
定理2 如果数列{(x_n)}收敛，则其一定是有界的。也即对于一切(n(n=1,2,...))，总可以找到一个正数(M)，使(|x_n|≤M)由收敛数列的有界性可推得无界数列一定是发散的，也即无界数列的极限不存在。
2 函数极限
我们知道，数列可以看成是自变量为(n)的函数 (x_n=f(n)).
数列可以看成是一种特殊类型的函数极限，其自变量(n)是取正整数离散地无限增大。数列中(n)只有一种变化趋势，即(n→∞).
一般函数(y=f(x))的自变量x是连续变化，其变化趋势有如下两种情形：
（1）、自变量(x)无限地接近于一个定数(x_0),记作(x→x_0);
（2）、自变量(x)的绝对值无限地增大,记作为(x→∞).
2.1 (n→∞)时函数的极限
对于函数(f(x)),首先设无论(x)的绝对值怎样总是有意义的。如果(|x|)无限增大时，对应的函数值是否无限地接近于某一个常数 (a)，也即当(|x|)无限增大时，(f(x))与某一常数(a)之差的绝对值可小于预先指定的任意小的正数(ε)，则此时我们就把 (a)叫做函数 (f(x))的极限。