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我理想中的微积分课本则应该是先讲定积分，再讲导数，再讲不定积分。先讲定积分，不过千万不能用现在的定积分符号，避免学生误认为
定积分是由不定积分发展而来的。讲自古就有的积分思想，讲分割求和取极限的方法，自创一套定积分的符号。然后另起炉灶，开始讲微分，
讲无穷小，讲变化量。最后才讲到，随着 x 一点一点的增加，曲线下方面积的变化量就是那一条条竖线的高度——不就是这个曲线本身的
函数值吗？因此，反过来，为了求出一个函数对应的曲线下方的面积，只需要找到一个新函数，使得它的微分正好就是原来那个函数。啪，
微积分诞生了
在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。
向量X矩阵
矩阵的乘法，其实就是多个线性变换叠加的效果，它显然满足结合律，但不满足交换律。
主对角线全是 1 的矩阵所对应的线性变换其实就是不变的意思，因此它叫做单位矩阵。
矩阵 A 乘以矩阵 B 得单位矩阵，就是做完线性变换 A 后再做一次线性变换 B 就又变回去了的意思，说明矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵。
行列式的真正定义：每个单位正方形在线性变换之后的面积。因此，
一、单位矩阵的行列式当然就为 1
二、某行全为 0 的行列式显然为 0 （因为某一维度会被无视掉，线性变换会把整个平面压扁）
三、|A·B| 显然等于 |A|·|B|
四、行列式为 0 ，对应的矩阵当然不可逆，因为这样的线性变换已经把平面压成一条线了，什么都不能把它变回去了。
运动是相对的
让我们想想，达成同一个变换的结果，比如把点(1, 1)变到点(2, 3)去，你可以有两种做法。
第一，坐标系不动，点动，把(1, 1)点挪到(2, 3)去。
第二，点不动，变坐标系，让x轴的度量（单位向量）变成原来的1/2，让y轴的度量（单位向量）变成原先的1/3
矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，
而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。
对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。
所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。
但是这样的话，问题就来了，如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，
我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认
识，岂不成了笑话。
好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：
若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异
矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：
A = P-1BP （矩阵P是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系）
所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。
按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。
Z变换，拉普拉斯变换，线性变换，非线性变换本质上，都只是在不断的切换观察事物的角度，从不同的角度看过去，同一个东西，会有不
一样的图样。所谓的“跃迁运动”只不过是我们把照相机从对象的正面放到了对象的后面，看到了同一个对象的两个不同角度的照片罢了。人
们会产生“两个东西发生了运动”的错觉。在我看来，跃迁，并不是一种运动，而是，我们观察角度发生了瞬间转变时，造成的视觉上的冲击。
量子，还是在那里，不增不减，只不过我们的摄像机换了一个摄像角度。
线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。
一. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，
也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1, ..., xn为基，那么任何一个这样的多项式都可
以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，
只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。
二. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。
也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找
到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为问题一。