【算法学习笔记】54.约瑟夫问题模拟、逆推动规 SJTU OJ 1038 二哥的约瑟夫

Description

话说二哥当年学习数据结构的时候遇到了那道猴子报数的题目，其实这就是经典的约瑟夫问题。

可是当年的二哥还是个毛头小子，只会用模拟的方法，而其他同学却使用了一些令二哥完全摸不到头脑的方法。

……二哥一怒之下改了题目……

话说当年花果山的猴子要选大王，选举办法如下：

所有猴子按1-M编号围坐一圈，二哥站在圈中心，由二哥指定一个整数Kn，

之后猴子们从1号开始按顺序报数，报到Kn的猴子退出到圈外，二哥再报出一个整数Kn+1，

然后由刚刚退出的猴子的下一只猴子再开始报数，如此循环报数，直到圈内只剩下一只猴子时，这只猴子就是大王。

由于二哥希望通过此种方法控制花果山，所以现在二哥把他制定的整数序列告诉你，希望你帮他预先算出那只猴子会成为大王。

Input Format

第一行一个整数M，表示一共有M只猴子

第二行到第M行，每行一个整数表示二哥即将指定的M-1个整数。这些数都大于0。

Output Format

一个整数，表示最后剩下那只猴子的编号。

Hint

对于40%的数据，M<=1000, K<=1000

对于70%的数据，M<=10000, K<=10000

对于100%的数据，M<=10000, K<=100000000

Sample Input

Sample Output

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　1.链表模拟法 很简单 也能AC 优化就是对K进行取余操作
但是要注意一点就是 因为我习惯了用1 2 3 来做代号 在取余时可能会出现K恰好是cnt的倍数 所以要进行单独处理 这点可以用换代号为 0 1 2...来解决
模拟法代码:

#include <iostream>
using namespace std;

int front[10000+10];
int nex[10000+10];
//模拟法
void out(int x){
    nex[front[x]] = nex[x];
    front[nex[x]] = front[x];
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int M;
    cin>>M;
    for (int i = 1; i <= M; ++i)
    {
        front[i] = (i==1) ? M : i-1;
        nex[i] = (i==M) ? 1 : i+1;
    }
    int cur = 1;
    int cnt = M;
    int K;
    while(1){
        cin>>K;
        K %= (cnt);
        if(K==0)
            K+=cnt;
        for (int i = 0; i < K-1; ++i)
        {
            cur = nex[cur];
        }
        out(cur);
        cur = nex[cur];
        cnt--;//出去一只猴子
        if(cnt == 1){
            cout<<cur<<endl;
            break;
        }
    }

    return 0;
}

链表模拟法

　　2.数学策略逆推法 O(n)

　　我们可以发现每一次踢出一个人以后，都是一个新的约瑟夫环问题，而相邻的两个约瑟夫环问题之间有一个关系。

假设Y1---->Y2 踢出的人在Y1中的编号为s1 = K1-1 (因为从0号人开始报数), 在Y1中编号为s1+1的人在Y2里编号为0 依次类推

　　假如我们已经知道了Y2中被踢出的人是s2

　　　　则 s2与s1 可以建立关系

　　　 s2在Y1中的编号 id =　s2 + s1 + 1 = (s2 + K1) % num[1]

也就是说在第二局里被踢出的人的在第一局里的编号是在第二局里的编号+上一次的K 然后对第一局人数取余

我们知道最后一局出局的人的编号是0(只有一个人)

所以可以逆推出这个人在第一局的编号即是答案

#include <iostream>
using namespace std;
int K[10000]={0};
int main(int argc, char const *argv[])
{
    int M;
    cin>>M;
    int ans = 0;//最后一个人 是 最后一个约瑟夫环的唯一一个人

    for (int i = 1; i <= M-1; ++i){
        cin>>K[i];
    }

    //从倒数第二个约瑟夫环开始反推 一共有M个约瑟夫环
    for (int i = 2; i <= M; ++i)
    {
        ans = (ans+K[M-i+1]) % i;//此时的上一局有i个人 数了K[M-i+1]才到ans的
        //用0标识初始位置可以有效避免取余后为0的问题
    }    
    cout<<ans+1<<endl;
    return 0;
}//12 2 4 3 5 76 92 92 9 4 13 13

逆推动态规划