题目：洛谷P4126 [AHOI2009]最小割
思路：
结论题
在残余网络上跑tarjan求出所有SCC，记id[u]为点u所在SCC的编号。显然有id[s]!=id[t]（否则s到t有通路，能继续增广）。
对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)能够出现在某个最小割集中，当且仅当id[u]!=id[v]；
对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)必定出现在最小割集中，当且仅当id[u] == id[s]且id[v] == id[t]。
证明：
①将每个SCC缩成一个点，得到的新图就只含有满流边了。那么新图的任一s-t割都对应原图的某个最小割，从中任取一个把id[u]和id[v]割开的割即可证明。
②假设将(u,v)的边权增大，那么残余网络中会出现s->u->v->t的通路，从而能继续增广，于是最大流流量（也就是最小割容量）会增大。这即说明(u,v)是最小割集中必须出现的边。
上述解释已经比较清楚，思维能力有限，还没有想到更好的解释方法，因此不再过多解释。
注意残量网络是指代码中实际建出的图，在跑完最大流之后所有边权大于0的边构成的子图，其中存在反向弧。
Code：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,s,t,d[N];
int tim,tp,scc_num,st[N],dfn[N],low[N],belong[N];
int Top=1,ver[N],val[N],nxt[N],head[N];
inline void add(int u,int v,int w){
ver[++Top]=v;val[Top]=w;nxt[Top]=head[u];head[u]=Top;
ver[++Top]=u;val[Top]=0;nxt[Top]=head[v];head[v]=Top;
}
bool bfs(){
for(int i=1;i<=n;++i) d[i]=0;
queue<int> q;
q.push(s);
d[s]=1;
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
int v=ver[i];
if(val[i]&&!d[v]){
d[v]=d[u]+1;
if(v==t) return true;
q.push(v);
}
}
}
return false;
}
int dfs(int u,int flow){
if(u==t) return flow;
int left=flow;
for(int i=head[u];i&&left;i=nxt[i]){
int v=ver[i];
if(val[i]&&d[v]==d[u]+1){
int res=dfs(v,min(left,val[i]));
if(!res) d[v]=0;
val[i]-=res;
val[i^1]+=res;
left-=res;
}
}
return flow-left;
}
void tarjan(int u){
dfn[u]=low[u]=++tim;
st[++tp]=u;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
int v=ver[i];
if(!val[i]) continue;//注意此处 在残量网络中tarjan
if(!dfn[v]){
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else if(!belong[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(low[u]==dfn[u]){
++scc_num;
int t;
do{
t=st[tp--];
belong[t]=scc_num;
} while(t!=u);
}
}
int main(){
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
for(int i=1,u,v,w;i<=m;++i){
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
add(u,v,w);
}
while(bfs()) dfs(s,inf);
for(int i=1;i<=n;++i) if(!dfn[i]) tarjan(i);
for(int i=2;i<=Top;i+=2){
int u=ver[i^1],v=ver[i];
if(!val[i]&&belong[u]!=belong[v]) printf("%d ",1);
else printf("%d ",0);
if(!val[i]&&belong[u]==belong[s]&&belong[v]==belong[t]) printf("%d",1);
else printf("%d",0);
putchar('
');
}
return 0;
}