题目大意
给定(n,r,k,p)
(1 leq n leq 10^9)
(0 leq r,k leq 50)
(2 leq p leq 2^{30}+1)
求
[left(sum_{i=0}^infty {C_{nk}^{ik+r}}
ight) mod p
]
即
[(C_{nk}^{r}+C_{nk}^{k+r}+C_{nk}^{2k+r}+...+C_{nk}^{(n-1)k+r}+C_{nk}^{nk+r}+...) mod p
]
解题思路
根据(C)的另一个递推式：
[C_{i}^{j}=C_{i-1}^{j}+C_{i-1}^{j-1}
]
我们做一些改变
令(dp_{i,j})表示取(i)个，取的个数模(k)余(j)的方案总数
递推式很类似：
[dp_{i,j}=dp_{i-1,j}+dp_{i-1,(j-1+k)\%k}
]
这个式子就可以矩阵乘法加速
[ left[
egin{matrix}
1&0&0&0&cdots&0&1 \
1&1&0&0&cdots&0&0 \
0&1&1&0&cdots&0&0 \
0&0&1&1&cdots&0&0 \
vdots&vdots&vdots&vdots&ddots&vdots&vdots \
0&0&0&0&cdots&1&1 \
1&0&0&0&cdots&0&1
end{matrix}
ight]
left[
egin{matrix}
dp_{i-1,0} \
dp_{i-1,1} \
dp_{i-1,2} \
dp_{i-1,3} \
vdots \
dp_{i-1,k-2} \
dp_{i-1,k-1}
end{matrix}
ight]
=
left[
egin{matrix}
dp_{i,0} \
dp_{i,1} \
dp_{i,2} \
dp_{i,3} \
vdots \
dp_{i,k-2} \
dp_{i,k-1}
end{matrix}
ight]
]
答案即为(dp_{nk,r})（在(nk)个元素中取的个数模(k)余(r)的方案总和）
复杂度(O(k^3lognk))
要注意一下，(k=1)的时候矩阵长这样：
[ left[
egin{matrix}
2
end{matrix}
ight]
]
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
long long n,p,K,r;
struct Matrix{
long long M[100][100];
Matrix(){memset(M,0,sizeof(M));}
};
Matrix operator * (Matrix &A,Matrix &B){
Matrix ret;
for (int i=0;i<K;i++)
for (int j=0;j<K;j++)
for (int k=0;k<K;k++){
ret.M[i][j]+=A.M[i][k]*B.M[k][j];
ret.M[i][j]%=p;
}
return ret;
}
Matrix E,S;
Matrix Fast_pow(Matrix &P,long long u){
if (!u) return E;
Matrix now=Fast_pow(P,u>>1);
now=now*now;
if (u&1) now=now*P;
return now;
}
int main(){
scanf("%d%d%d%d",&n,&p,&K,&r);
for (int i=0;i<K;i++){
S.M[i][i]++;
S.M[i][(i-1+K)%K]++;
E.M[i][i]++;
}
S=Fast_pow(S,n*K);
printf("%d",S.M[r][0]);
}