整数划分问题（递归法或母函数法）

样题：sdut2015寒假结训赛

开始我还以为是用背包来做，但是写完了代码，怎么写就是不对，并且在实现的时候确实有点地方我用背包的算法描述不了！

后来查到可以用：递归或者母函数算法！

比赛时曾考虑过用递归来实现，但没有推导出来，后来发现别人的博客里面写着“整数划分问题”应该在讲解递归的时候就该学会了。

我的心里顿时感到一股抱怨和悔恨，唉！当然自己的责任最大！

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。

如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

例如但n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。

题目描述

整数划分是一个非常经典的数学问题。

所谓整数划分，是指把一个正整数n写成为n=m1+m2+...+mi的形式，其中mi为正整数，并且1<=mi<=n，此时， {m1, m2, ..., mi}为n的一个划分。如果{m1, m2, ..., mi}中的最大值不超过m，即max{m1, m2, ..., mi}<=m，那么我们称之为整数n的一个m划分。

现在给出你正整数n和m，请你输出n的m划分的数量。

例如，当n=4时，有5个划分，即{4}, {3,1}, {2,2}, {2,1,1}, {1,1,1,1}。

注意，4=1+3和4=3+1被认为是同一个划分。

输入

输入文件以EOF结束。

每组数据占一行，有两个正整数n和m。(n,m<=50)

输出

输出n的m划分的数量。

示例输入

4 4

示例输出

5
数据量不大，递归算法实现：

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #include <stdlib.h>
 4 #include <algorithm>
 5 
 6 using namespace std;
 7 
 8 unsigned long  GetPartitionCount(int n, int max)
 9 {
10     if (n == 1 || max == 1)
11         return 1;
12     else if (n < max)
13         return GetPartitionCount(n, n);
14     else if (n == max)
15         return 1 + GetPartitionCount(n, max-1);
16     else
17         return GetPartitionCount(n,max-1) + GetPartitionCount(n-max, max);
18 }
19 
20 int main()
21 {
22     int n, m;
23     long ans;
24     while(scanf("%d %d", &n, &m)!=EOF)
25     {
26         ans = GetPartitionCount(n, m);
27         printf("%ld
", ans );
28     }
29     return 0;
30 }

View Code

递归算法分析：（剪辑地址：http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2008/10/11/1308493.html）

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

（1）当 n = 1 时，不论m的值为多少（m > 0 )，只有一种划分即 { 1 };

(2) 当 m = 1 时，不论n的值为多少，只有一种划分即 n 个 1，{ 1, 1, 1, ..., 1 };

(3) 当 n = m 时，根据划分中是否包含 n，可以分为两种情况：

(a). 划分中包含n的情况，只有一个即 { n }；

(b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比 n 小，即 n 的所有 ( n - 1 ) 划分。

因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1);

(4) 当 n < m 时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于 f(n, n);

(5) 但 n > m 时，根据划分中是否包含最大值 m，可以分为两种情况：

(a). 划分中包含 m 的情况，即 { m, { x1, x2, ..., xi } }, 其中 { x1, x2, ..., xi } 的和为 n - m，可能再次出现 m，因此是（n - m）的 m 划分，因此这种划分

个数为 f(n-m, m);

(b). 划分中不包含 m 的情况，则划分中所有值都比 m 小，即 n 的 ( m - 1 ) 划分，个数为 f(n, m - 1);

因此 f(n, m) = f(n - m, m) + f(n, m - 1);

综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

f(n, m) = 1; ( n = 1 or m = 1 )

f(n, n); ( n < m )

1+ f(n, m - 1); ( n = m )

f(n - m, m) + f(n, m - 1); ( n > m )