P6009 [USACO20JAN]Non-Decreasing Subsequences P 矩阵优化DP

题意：

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分析：

我们先不考虑区间的限制设出DP状态,(f[i][j])表示枚举到第(i)个数，单调不降序列最后一位是(j)的方案数

• 转移方程就是:

if(a[i]!=j) f[i][j]=f[i-1][j]
else f[i][j]=f[i-1][k](k<=j)

我们发现可以用矩阵维护，那么对于限定区间的我们考虑通过类似差分的操作(ans=I*prod_{i=1}^{l-1}T^{-1}*prod_{i=1}^r T)

所以我们改为维护逆矩阵和转移矩阵的前缀积，复杂度为(O(nk^2+qk))

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace zzc
{
	const int maxn = 5e4+5;
	const int mod = 1e9+7;
	int f[maxn][25],g[maxn][25],a[maxn],mat[25][25];
	int n,k,q;
	
	int div(int x)
	{
		return x&1?(x+mod)>>1:x>>1;
	}
	
	void work()
	{
		scanf("%d%d",&n,&k);
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
		
		for(int i=1;i<=k;i++)
		{
			for(int j=1;j<=k;j++) 
			{
				mat[i][j]=(i==j);
			}
		}
		
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=a[i];j++)
			{
				for(int l=a[i];l>=j;l--)
				{
					mat[j][a[i]]=(mat[j][a[i]]+mat[j][l])%mod;
				}
			}
			for(int j=1;j<=k;j++)
			{
				for(int l=1;l<=k;l++)
				{
					f[i][j]=(f[i][j]+mat[j][l])%mod;
				}
			}
		}
		
		for(int i=1;i<=k;i++)
		{
			for(int j=1;j<=k;j++) 
			{
				mat[i][j]=(i==j);
			}
		}
		
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=k;j++)
			{
				g[i][j]=mat[1][j];
			}
			for(int j=1;j<=a[i];j++)
			{
				for(int l=a[i];l<=k;l++)
				{
					mat[j][l]=(mat[j][l]+mod-div(mat[a[i]][l]))%mod;
				}
			}
		}
		
		scanf("%d",&q);
		for(int i=1,l,r,ans;i<=q;i++)
		{
			scanf("%d%d",&l,&r);
			ans=0;
			for(int j=1;j<=k;j++)
			{
				ans=(ans+(long long)g[l][j]*f[r][j]%mod)%mod;
			}
			printf("%d
",ans);
		}	
	}

}

int main()
{
	zzc::work();
	return 0;
}