牛客国庆集训派对Day2 F、平衡二叉树【构造+记忆化搜索】

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64bit IO Format: %lld

题目描述

平衡二叉树，顾名思义就是一棵“平衡”的二叉树。在这道题中，“平衡”的定义为，对于树中任意一个节点，都满足左右子树的高度差不超过 d. 空树的高度定义为0，单个节点的高度为1，其他情况下树的高度定义为根节点左右子树高度最大值 + 1. 一棵在高度上平衡的树，节点数可能不平衡，因此再定义一棵树的不平衡度为这棵树中所有节点的左右子树的节点数之差的最大值。
给定平衡的定义参数d, 你需要求出所有高度为 n 的平衡树中不平衡度的最大值。

输入描述:

两个整数，n, d.

输出描述:

一个整数：所有高度为 n 的平衡树中不平衡度的最大值。

示例1

输入

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4 1

输出

复制

说明

下面这棵树在 d=1 的定义下高度是平衡的，其不平衡度为 5。

备注:

0 ≤ n, d ≤ 60

题意概括：

不要被题目蒙骗了，这是一道找规律和构造的题目。

tip：注意是所有左右子树的高度差为 d，不平衡度也是所有左右子树比较后的最大的那个。

解题思路：

思路很清晰嘛，第一个左结点为根的子树为满二叉树，第一个右结点的子树以尽量少的结点数构成一颗满足条件的二叉树，答案为这两颗子树的结点之差。

第一个左子树为满二叉树，左子树结点数 2^(N-1)-1; （快速幂）

那右边的那一半呢就进行构造建树吧，具体实现为 dfs ，每次构造它的左子树和右子树，直到达到需要的高度。但是一开始纯dfs是肯定超时，这时候需要记忆化搜索优化一下。

AC code：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <cstring>
 5 #define LL long long
 6 using namespace std;
 7 LL dp[100][100];
 8 int N,d;
 9 
10 LL dfs(int h, int step)
11 {
12     if(dp[h][step] != -1) return dp[h][step];
13     LL sum = 1LL;
14     if(step == h) {dp[h][step] = sum; return sum;}
15     sum += dfs(h, step+1);                  //左子树
16     if(step >= h-d) {dp[h][step] = sum; return sum;}
17     sum += dfs(h-d, step+1);  //右子树
18     dp[h][step] = sum;
19     return sum;
20 }
21 
22 LL qpow(int x, int n)
23 {
24     LL ans = 1, base = x;
25     while(n != 0){
26         if(n&1!=0) ans*=base;
27         base*=base;
28         n>>=1;
29     }
30     return ans;
31 }
32 
33 int main()
34 {
35     //d = 1;
36     //printf("%d
", dfs(3, 1));
37     LL L, R;
38     //while(~scanf("%lld%lld", &N, &d)){
39     scanf("%d%d", &N, &d);
40     memset(dp, -1, sizeof(dp));
41     if(N == 0 || d == 0) L = 0, R = 0;
42     else{
43         L = qpow(2, N-1)-1;
44         if(d >= N-1 ) R = 0;
45         else  R = dfs(N-d, 2);
46     }
47     //printf("L:%lld R:%lld
", L, R);
48     printf("%lld
", L-R);
49     //}
50     return 0;
51 }

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