【学习整理】Tarjan：强连通分量+割点+割边

Tarjan求强连通分量

在一个有向图中，如果某两点间都有互相到达的路径，那么称中两个点强联通，如果任意两点都强联通，那么称这个图为强联通图；一个有向图的极大强联通子图称为强联通分量。

$Tarjan$ 算法可以在 $O(n+m)$ 的时间内求出一个图的所有强联通分量。

$dfn(i)$ 表示进入结点 $i$ 的时间

$low(i)$ 表示从 $i$ 所能追溯到的栈中点的最早时间

如果某个点 $x$ 已经在栈中则更新 $low[i]=min(low[i],dfn[x]);$

否则对 $x$ 进行回溯，并在回溯后更新 $low[i]=min(low[i],low[x]);$

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stack>
using namespace std;

int n,m,tot,ind,ans;
int dfn[200005],low[200005],last[200005];
bool ins[200005];
stack<int> s;
struct hh
{
    int fr,to,next;
}e[500005];
void add(int fr,int to)
{
    e[++tot].to=to;e[tot].fr=fr;
    e[tot].next=last[fr];
    last[fr]=tot;
}
void tarjan(int now)
{
    int i,j;
    s.push(now);
    ins[now]=true;
    low[now]=dfn[now]=++dex;
    for(i=last[now];i;i=e[i].next)
        if(!dfn[e[i].to])
        {
            tarjan(e[i].to);
            low[now]=min(low[now],low[e[i].to]);
        }
        else if(ins[e[i].to])low[now]=min(low[now],dfn[e[i].to]);
                
    if(dfn[now]==low[now])
    {
        cnt=0;
        do
        {
            j=s.top();s.pop();
            ins[j]=false;
            cnt++;
        }while(j!=now);
        ans=max(ans,cnt);
    }
}
int main()
{
    int i,j,u,v;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

Tarjan求割点

在一个无向图中，如果删掉点 $x$ 后图的连通块数量增加，则称点 $x$ 为图的割点。

对于搜索树上的非根结点 $x$ ，如果存在子节点 $i$ 满足 $low[i]$geq$dfn[x]$ ，即 $i$ 向上无法达到 $x$ 的祖先，则 $x$ 为割点。

对于搜索树上的根节点 $x$ ，若它的子节点数 $geq2$ ，则 $x$ 为割点。

void tarjan(int x,int fa)
{
    int i,j;
    dfn[x]=low[x]=++dex;
    for(i=last[x];i;i=e[i].next)
    {
        ++t[x];
        if(!dfn[e[i].to])
        {
            tarjan(e[i].to,x);
            low[x]=min(low[x],low[e[i].to]);
            if(x==root&&t[x]>=2) opt[x]=true;
            else if(x!=root&&low[e[i].to]>=dfn[x]) opt[x]=true;
        }
        else if(e[i].to!=fa) low[x]=min(low[x],dfn[e[i].to]);
    }
}

Tarjan求割边

对于当前结点 $x$ ，若邻接点中存在结点 $y$ 满足 $low[y]$ extgreater$dfn[x]$ ，则 $(x,y)$ 为割边。

void tarjan(int x,int fa)
{
    int i,j;
    low[x]=dfn[x]=++dex;
    for(i=last[x];i;i=e[i].next)
        if(e[i].to!=fa)
        {
            if(dfn[e[i].to]) low[x]=min(low[x],dfn[e[i].to]);
            else
            {
                tarjan(e[i].to,x);
                low[x]=min(low[x],low[e[i].to]);
                if(low[e[i].to]>dfn[x]) opt[e[i].id]=true;
            }
        }
}