面试题9（变形）：矩形覆盖

题目链接：http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1390

思路：设用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形的方法数为Fn

1、考虑最后一个小矩形，假设他是竖着的，那么前n-1个小矩形可以任意放，有Fn-1种放法

2、考虑最后两个小矩形，假设他们都是横着放，那么前n-2个小矩形可以任意放，有Fn-2中放法

上面两种情况是否既包含n个小矩形的所有放法，又不存在重复计算呢？

首先考虑是否会重复，显然不会，最后两个小矩形的放法不一样，不可能重复。

再考虑是否包含了所有情况，我们可以换个角度想想，有没有一种放法不对应到上面的两种情况之一，

我们只能考虑最后两个是否没对应上，因为前面的n-2个包含了所有放法，显然不会出现不对应的情况。

递推公式：Fn = Fn-1 + Fn-2

注：考虑递推时，最重要的是，不重不漏！！！

code:

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 using namespace std;
 4 const int M = 2;
 5 const int MOD = 1000000007;
 6 typedef long long LL;
 7 LL ans[M][M];
 8 LL tmp[M][M];
 9 
10 // 矩阵乘法
11 void matrixMul(LL mat1[M][M], LL mat2[M][M])
12 {
13     LL mat3[M][M];
14     for (int i = 0; i < M; ++i)
15     {
16         for (int j = 0; j < M; ++j)
17         {
18             mat3[i][j] = 0;
19             for (int k = 0; k < M; ++k)
20                 mat3[i][j] += mat1[i][k] * mat2[k][j];
21         }
22     }
23     memcpy(mat1, mat3, sizeof(mat3));
24 }
25 
26 // 矩阵快速幂
27 void matrixQuickMod(int n)
28 {
29     tmp[0][0] = 1;
30     tmp[0][1] = 1;
31     tmp[1][0] = 1;
32     tmp[1][1] = 0;
33 
34     // 将ans处理成单位矩阵
35     memset(ans, 0, sizeof(ans));
36     for (int i = 0; i < M; ++i) ans[i][i] = 1;
37 
38     while (n)
39     {
40         if (n & 1) matrixMul(ans, tmp);        // 当n为奇数时，跟新ans
41         n >>= 1;
42         matrixMul(tmp, tmp);    // 当n为偶数时跟新tmp
43     }
44 }
45 
46 int main()
47 {
48     int n;
49     while (scanf("%d", &n) != EOF)
50     {
51         matrixQuickMod(n);
52         printf("%lld
", ans[0][0]);
53     }
54     return 0;
55 }