考虑 $f$ 是 $(mathbb{R},mathcal{B})$ 到自身的可测映射，记 $n(y)$ 为 $f(x)=y$ 的根的个数，证明 $n(y)$ 是 $mathcal{B}$ 可测的.
分析：考虑
[D=mathbb{R} imesig(mathbb{R}^d ackslash igcup_{i e j} { (x_1,x_2,dots,x_d):x_i = x_j }ig)]
是 $mathbb{R} imesmathbb{R}^d$ 中的 $mathcal{B}otimesmathcal{B}^{otimes d}$ 可测集，则
[G = igcap_{i=1}^{d}{ (y,x_1,x_2,dots,x_d):f(x_i)=y}cap D]
也是 $mathbb{R} imesmathbb{R}^d$ 中的 $mathcal{B}otimesmathcal{B}^{otimes d}$ 可测集.
记 $G_y$ 为 $G$ 的 $y$ 截口，由可测射影定理，$G$ 向第一个分量的投影
[ ext{Proj}(G)={ yin mathbb{R}:G_y e emptyset }={yinmathbb{R}:n(y)geq d}]
是 $mathcal{B}$ 可测的，从而 $n(y)$ 是 $mathcal{B}$ 可测函数.
需要注意的是，若 $f$ 是 $mathbb{R}$ 上的 $mathcal{L}$ 可测函数，则该命题存在反例.
考虑取 $Esubsetmathbb{R}$ 为 $mathcal{L}$ 不可测集，并建立 $phi:E o mathcal{C}$ 的单射，其中 $mathcal{C}$ 为 Cantor 集.
定义 $f(x)= 1_{phi(E)}(x) phi^{-1}(x)$，则 $f$ 只在一个可略集上非零，由 $mathcal{L}$ 的完备性，知其是 $mathcal{L}$ 可测函数.
不妨设 $0 otin phi(E)$, 则 ${yinmathbb{R}:n(y)=1}=E otin mathcal{L}$，也即 $n(y)$ 不是 $mathcal{L}$ 可测函数.
为什么会这样呢？其实本质就是 $mathcal{L}$ 可测函数作为可测映射而言，定义域和陪域可测结构的不对称性导致的。而且你会发现任何想修补这种对称性的举动——无论是你想扩大陪域的可测结构，还是想缩小定义域的可测结构——都是在扩大所考虑的函数类。另一方面，如果是 $mathcal{B}$ 可测映射，当你把 Baire 函数变为连续函数或是半连续函数时，都是在缩小函数类。具体到证明过程中的失效，只需要注意到当 $f$ 只是一个 $mathcal{L}$ 可测函数时，
[g_i (y,x_1,x_2,dots ,x_d)=y-f(x_i)]
未必是一个 $mathcal{L}otimes mathcal{B}^{otimes d}$ 可测函数，从而无法得出 $G$ 是 $mathcal{L}otimes mathcal{B}^{otimes d}$ 可测集，因此无法使用可测射影定理。
注记：关于可测射影定理，可以参考 Suslin 集理论与 [CV] 这本书的第三章.