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解题思路
在图上很难做这种构造题，所以一种常用的方法是求出其生成树。
在生成树上做就容易很多。
于是这个题就按照 dfs 序建立一颗生成树，记录下每个节点的返祖边。
于是第一问可以根据树的深度判断是否符合要求，符合的话直接输出。
若没有，则易证第二问一定成立：
因为第一问不成立，所以叶子节点数一定 (geqslant k)，而题中保证每个节点的度数 (geqslant3)，也就暗示了叶子节点都有 (geqslant2) 条返祖边。
所以一定能从每个叶子节点找到一个符合要求的环。
假设叶子节点 k 的两个返祖祖先为 x 和 y，则通过作差法易证：
((dep[u]-dep[x]+1)) 和 ((dep[u]-dep[y]+1)) 和 ((dep[y]-dep[x]+2)) 中至少有一个不是 (3) 的倍数。
判断一下输出即可。
注意
数组一定要开够：大小为 m 的两倍！否则会在第四个点TLE。
AC代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=5e5+5;
int n,m,k,cnt,cnt_leaf,leaf[maxn],p[maxn],dep[maxn],fa[maxn],ancestor[maxn][105];
int maxdep,ed;
template <typename T>
inline void read(T &x)
{
char c;
x=0;
int fu=1;
c=getchar();
while(c>57||c<48){
if(c==45){
fu=-1;
}
c=getchar();
}
while(c<=57&&c>=48)
{
x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
c=getchar();
}
x*=fu;
}
struct node{
int v,next;
}e[maxn*2];
void insert(int u,int v){
cnt++;
e[cnt].v=v;
e[cnt].next=p[u];
p[u]=cnt;
}
void dfs(int u,int f,int deep){
dep[u]=deep;
if(dep[u]>maxdep){
maxdep=dep[u];
ed=u;
}
fa[u]=f;
leaf[++cnt_leaf]=u;
for(int i=p[u];i!=-1;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
if(v==f) continue;
if(dep[v]){
ancestor[u][++ancestor[u][0]%100]=v;
continue;
}
if(leaf[cnt_leaf]==u) cnt_leaf--;
dfs(v,u,deep+1);
}
}
void print(int u,int to){
printf("%d ",to);
if(u==to) return;
print(u,fa[to]);
}
int main(){
memset(p,-1,sizeof(p));
read(n);
read(m);
read(k);
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v;
read(u);
read(v);
insert(u,v);
insert(v,u);
}
dfs(1,-1,1);
if(maxdep>=(n-1)/k+1){
puts("PATH");
printf("%d
",maxdep);
while(ed!=-1){
printf("%d ",ed);
ed=fa[ed];
}
return 0;
}
puts("CYCLES");
for(int i=1;i<=k;i++){
int u=leaf[i],x=ancestor[u][1],y=ancestor[u][2];
if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
if((dep[u]-dep[x]+1)%3!=0){
printf("%d
",dep[u]-dep[x]+1);
print(x,u);
puts("");
}else{
if((dep[u]-dep[y]+1)%3!=0){
printf("%d
",dep[u]-dep[y]+1);
print(y,u);
puts("");
}else{
printf("%d
%d ",dep[y]-dep[x]+2,u);
print(x,y);
puts("");
}
}
}
return 0;
}