题目大意
给定一个n个数的数列，m个操作，有三种操作：
(1 x v) 将(a_x)的值修改成v
$2 l r $ 求 (sum_{i=l}^r x_i*f_{i-l}) 其中对于(f)数组 (f_0=1 ，f_1=1 ，f_i=f_{i-1}+f_{i-2}) （就是斐波那契数列）
$3 l r x $ 让(a_i+x，iin[l,r])
其中$nle 100000，mle 100000$
一看这个题QwQ，就知道是线段树题
QwQ那么怎么维护节点信息和合并区间呢
来举个栗子试一下
对于系数分别为(1 1,1 2)来说
将二者相加变为(2 3)也就是以第三个元素开头的系数序列了~
由于fib序列相加还是fib序列
哇，那这么说，这个题目所给的求和的操作，也是可以通过已知矩阵乘转移矩阵快速得到目标矩阵
那么！就可以通过这个东西来转移了！
[egin{bmatrix}
0 & 1 \
1& 1 \
end{bmatrix}
]
所以！对于左右区间来说，合并的时候，只需要把右区间乘上左区间的长度次方（就相当于把右边这个区间的变为$f_{mid-l+1}$项开头）
同时，我们发现要进行矩阵转移，必须记录当前这个区间的元素从(f_0)开始和(f_1)开始的两个值，才能够进行矩阵计算
QwQ因为我不会矩阵乘法呀！
所以我是选择手动展开了矩阵的n次方
最后假设是求矩阵的n次方的话
那么最终的矩阵应为
[egin{bmatrix}
{fib}_{n-2} & {fib}_{n-1} \
{fib}_{n-1}& {fib}_{n} \
end{bmatrix}
]
~只需要预处理一下fib序列和fib序列的前缀和就行了
void up(int root)
{
ll len = f[2*root].len;
f[root].len=(f[2*root].len+f[2*root+1].len)%mod;
f[root].fir=(f[2*root].fir+f[2*root+1].fir*get(len-2)+f[2*root+1].sec*fib[len-1])%mod;
f[root].sec=(f[2*root].sec+f[2*root+1].fir*fib[len-1]+f[2*root+1].sec*fib[len])%mod;
}
接着，我们考虑，对3操作
如果让一个区间加x，就是让这个区间加x*fib前缀和的区间长度-1项（因为(f_0=1)）（求答案的是从(f_0)开始乘）
emmmm所以也是可以直接做了咯（记得从1开始乘的那个信息需要-add[root]）
void pushdown(int root,int l,int r)
{
if (add[root])
{
add[2*root]=(add[2*root]+add[root])%mod;
add[2*root+1]=(add[2*root+1]+add[root])%mod;
f[2*root].fir=(f[2*root].fir+add[root]*sum[f[2*root].len-1])%mod;
f[2*root].sec=(f[2*root].sec+add[root]*sum[f[2*root].len]-add[root])%mod;
f[2*root+1].fir=(f[2*root+1].fir+add[root]*sum[f[2*root+1].len-1])%mod;
f[2*root+1].sec=(f[2*root+1].sec+add[root]*sum[f[2*root+1].len]-add[root])%mod; //之所以-1是因为要减掉fib[0]
add[root]=0;
}
}
update和change和build都差不多~
需要注意的是！！！！！！！！！
query的时候，不能直接(return f[root].fir)
因为如果让区间为([l,r])，就需要将这一段嫁接到([x,l-1])的后面，对，所以也需要想之前合并的时候那样乘一个fib
if (x<=l && r<=y)
{
int len = l-1-x+1;
if (len==0) return f[root].fir;
return f[root].fir*get(len-2)+f[root].sec*get(len-1);
}
其他的都差不多了啦
直接上代码！
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read()
{
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn = 2e5+1e2;
const int mod = 1000000000;
struct Node
{
ll fir,sec,len;
};
Node f[4*maxn];
ll add[4*maxn];
ll a[maxn];
ll fib[maxn],sum[maxn];
int n,m;
void init()
{
fib[0]=1,fib[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++) fib[i]=(fib[i-1]+fib[i-2])%mod;
sum[0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]=(sum[i-1]+fib[i])%mod;
}
ll get(int x)
{
if (x<0) return 0;
else return fib[x];
}
void up(int root)
{
ll len = f[2*root].len;
f[root].len=(f[2*root].len+f[2*root+1].len)%mod;
f[root].fir=(f[2*root].fir+f[2*root+1].fir*get(len-2)+f[2*root+1].sec*fib[len-1])%mod;
f[root].sec=(f[2*root].sec+f[2*root+1].fir*fib[len-1]+f[2*root+1].sec*fib[len])%mod;
}
void pushdown(int root,int l,int r)
{
if (add[root])
{
add[2*root]=(add[2*root]+add[root])%mod;
add[2*root+1]=(add[2*root+1]+add[root])%mod;
f[2*root].fir=(f[2*root].fir+add[root]*sum[f[2*root].len-1])%mod;
f[2*root].sec=(f[2*root].sec+add[root]*sum[f[2*root].len]-add[root])%mod;
f[2*root+1].fir=(f[2*root+1].fir+add[root]*sum[f[2*root+1].len-1])%mod;
f[2*root+1].sec=(f[2*root+1].sec+add[root]*sum[f[2*root+1].len]-add[root])%mod; //之所以-1是因为要减掉fib[0]
add[root]=0;
}
}
void build(int root,int l,int r)
{
if (l==r)
{
f[root].sec=f[root].fir=a[l]%mod;
f[root].len=1;
return;
}
int mid = (l+r) >> 1;
build(2*root,l,mid);
build(2*root+1,mid+1,r);
up(root);
}
void update(int root,int l,int r,int x,int y,int p)
{
if (x<=l && r<=y)
{
add[root]=(add[root]+p)%mod;
f[root].fir=(f[root].fir+sum[r-l]*p)%mod;
f[root].sec=(f[root].sec+sum[r-l+1]*p-p)%mod;
return;
}
pushdown(root,l,r);
int mid = (l+r) >> 1;
if (x<=mid) update(2*root,l,mid,x,y,p);
if (y>mid) update(2*root+1,mid+1,r,x,y,p);
up(root);
}
void change(int root,int l,int r,int x,int p)
{
if (l==r)
{
f[root].fir=f[root].sec=p%mod;
add[root]=0;
f[root].len=1;
return;
}
pushdown(root,l,r);
int mid = (l+r) >> 1;
if (x<=mid) change(2*root,l,mid,x,p);
if (x>mid) change(2*root+1,mid+1,r,x,p);
up(root);
}
ll query(int root,int l,int r,int x,int y)
{
if (x<=l && r<=y)
{
int len = l-1-x+1;
if (len==0) return f[root].fir;
return f[root].fir*get(len-2)+f[root].sec*get(len-1);
}
int mid = (l+r) >> 1;
pushdown(root,l,r);
ll ans=0;
if (x<=mid) ans=(ans+query(2*root,l,mid,x,y))%mod;
if (y>mid) ans=(ans+query(2*root+1,mid+1,r,x,y))%mod;
return ans%mod;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
init();
for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
build(1,1,n);
//cout<<query(1,1,n,1,4)<<endl;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int opt;
opt=read();
if (opt==1)
{
int x=read();
ll y=read();
change(1,1,n,x,y);
}
if (opt==2)
{
int x=read(),y=read();
//cout<<x<<" "<<y<<endl;
printf("%lld
",query(1,1,n,x,y));
//cout<<query(1,1,n,1,4)<<endl;
}
if (opt==3)
{
int x=read(),y=read();
ll z=read();
update(1,1,n,x,y,z);
}
}
return 0;
}