马尔科夫特性：
下一时刻的状态只与现在的时刻的状态相关，与之前的时刻无关，即状态信息包含了历史的所有相关信息。
马尔科夫奖励过程，$<S, P, R, gamma>$：
$S$是有限状态集
$P$是状态转移概率矩阵，${p_{ss'}} = { m P}[{S_{t + 1}} = s'|{S_t} = s]$
$R$是奖励函数，${R_s} = { m E}[{R_{t + 1}}|{S_t} = s]$
$gamma$是折扣因子
为什么要折扣因子呢
1. 数学上方便定义描述
2. 避免了马尔科夫过程的无限循环
3. 折扣可以表示对未来的不确定性
4. 如果奖励是经济的，即时奖励会比延后奖励带来更多的利润
5. 人/动物 确实会更倾向于即时奖励
6. 也存在无折扣的马尔科夫奖励过程
定义回报$G$是从$t$时刻开始的折扣奖励的总和
${G_t} = {R_{t + 1}} + gamma {R_{t + 2}} + ... = sumlimits_{k = 0}^infty {{gamma ^k}{R_{t + k + 1}}} $
定义马尔科夫奖励过程的价值函数$v(s)$是状态$s$下的长期价值，即状态$s$下，的期望回报
$v(s) = { m E}[{G_t}|{S_t} = s]$
对于马尔科夫奖励过程，为了体现其动态特性，利用贝尔曼方程递推得到：
$v(s) = {
m E}[{G_t}|{S_t} = s]\
= {
m E}[{R_{t + 1}} + gamma {R_{t + 2}} + {gamma ^2}{R_{t + 3}} + ...|{S_t} = s]\
= {
m E}[{R_{t + 1}} + gamma ({R_{t + 2}} + gamma {R_{t + 3}} + ...)|{S_t} = s]\
= {
m E}[{R_{t + 1}} + gamma {G_{t + 1}}|{S_t} = s]\
= {
m E}[{R_{t + 1}} + gamma v({S_{t + 1}})|{S_t} = s]$
$v(s) = { m E}[{R_{t + 1}} + gamma v({S_{t + 1}})|{S_t} = s]$
由上图可知，当前状态$s$的价值函数$v(s)$等于
当前状态到下一状态得到的即时奖励$R_s$，加上折扣后的下一状态的价值函数期望值$gamma sumlimits_{s' in S} {{{ m P}_{ss'}}} v(s')$
$v(s) = {R_s} + gamma sumlimits_{s' in S} {{{ m P}_{ss'}}} v(s')$
马尔科夫决策过程，$<S, A, P, R, gamma>$：
引入有限动作空间$A$，将马尔科夫奖励过程转化为马尔科夫决策过程。
$S$是有限状态集
$A$是有限动作集
$P$是状态转移概率矩阵，${p_{ss'}^a} = { m P}[{S_{t + 1}} = s'|{S_t} = s, A_t = a]$
$R$是奖励函数，${R_s^a} = { m E}[{R_{t + 1}}|{S_t} = s, A_t = a]$
$gamma$是折扣因子
定义策略$pi$是在给定状态下的动作分布，$pi (a|s) = { m P}[{A_t} = a|{S_t} = s]$
1. 策略完全定义了智能体的行为
2. 马尔科夫决策过程，决策即动作的选择，依赖于当前状态，与历史状态无关
3. 策略$pi$是给定状态下的所有动作的概率分布，所以可以求状态转移概率${{ m P}_{ss'}}$和状态的期望即时奖励$R_s$
${{ m P}_{ss'}} = sumlimits_{a in A} {pi (a|s){ m P}_{ss'}^a}$
${R_s} = sumlimits_{a in A} {pi (a|s)R_s^a} $
定义马尔科夫决策过程的价值函数$v_pi(s)$，在状态$s$下， 服从策略$pi$，即按照策略$pi$来选择动作，的期望回报
$v_pi(s) = { m E}[{G_t}|{S_t} = s]$
定义马尔科夫决策过程的动作-值函数$q_pi(s)$，在状态$s$下，选择动作$a$后， 服从策略$pi$的期望回报
$q_pi(s) = { m E}[{G_t}|{S_t} = s, A_t = a]$
对于马尔科夫决策过程，为了体现其动态特性，利用贝尔曼方程递推得到：
${v_pi }(s) = {{ m{E}}_pi }[{R_{t + 1}} + gamma {v_pi }({S_{t + 1}})|{S_t} = s]$
${q_pi }(s,a) = {{ m{E}}_pi }[{R_{t + 1}} + gamma {q_pi }({S_{t + 1}},{A_{t + 1}})|{S_t} = s,{A_t} = a]$
${v_pi }(s) = pi (a|s)sumlimits_{a in A} {{q_pi }(s,a)}$ (1)
${q_pi }(s,a) = R_s^a + gamma sumlimits_{s' in S} {P_{ss'}^a{v_pi }(s')} $ (2)
把公式（2）带入公式（1），得到${v_pi }(s)$的贝尔曼递推方程，
${v_pi }(s) = sumlimits_{a in A} {pi (a|s)left( {R_s^a + gamma sumlimits_{s' in S} {P_{ss'}^a{v_pi }(s')} } ight)} $
把公式（1）带入公式（2），得到${q_pi }(s,a)$的贝尔曼递推方程，
${q_pi }(s,a) = R_s^a + gamma sumlimits_{s' in S} {P_{ss'}^api (a'|s')sumlimits_{a' in A} {{q_pi }(s',a')} } $
定理：
对于任一马尔科夫决策过程，
1. 一定存在一个最优策略$pi_*$比其他的所有的策略都好或者相等，$pi_* ge pi, forall pi$
2. ${v_{{pi _*}}(s)} = {v_*}(s)$ ${q_{{pi _*}}(s, a)} = {q_*}(s, a)$
如果我们知道$q_{{pi _*}}(s, a)$，就可以每次根据q值，选最大值对应的动作a，从而得到最优策略$pi$
由于q值是包含了所有未来可能的状态的，所以可以每步贪心就可以了。
贝尔曼最优方程如下：
接下来就讲怎么迭代得到最优策略。
参考：
1. David Silver 课程
2. Reinforcement learning： An Introduction. Richard S. Sutton