逆矩阵

1.定义：

设 $A$ 是数域上的一个 $n$ 阶方阵，若在相同数域上存在另一个 $n$ 阶矩阵 $B$ ，使得： $AB=BA=E$ 。则我们称 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，而 $A$ 则被称为可逆矩阵，记为 $A^{-1}$ 。

这里 $E$ 是单位矩阵： $left( egin{array}{ccc} 1 &0 &cdotcdotcdot & 0 \ 0 &1 &cdotcdotcdot & 0 \ cdotcdotcdot\ 0 &0 &cdotcdotcdot & 1 \ end{array} ight)$ ，也就是主对角线（就这一条啊，别的都不算）全是“ $1$ ”，别的地方全是“ $0$ ”，且单位矩阵一定是方阵。

解毒：现在都知道矩阵不过是一张数表了吧，那么现在暂且先告诉你，要求原矩阵的逆矩阵，那么原矩阵就必须是个方阵（即矩阵 $A_ {n imes n}$ 的是 $n$ 行 $n$ 列的)，且 $|A|≠0$ （唉，完了完了，行列式又忘记讲了...）。所谓在相同数域上存在，也就是原矩阵和逆矩阵的都是相同的（复数域C、实数域R、有理数域Q...)。当 $AB=BA=E$ 时，之前说了矩阵乘法是没有交换率，但这里可以理解为一个倒数乘以它本身就等于 $1$ （单位矩阵嘛，差不多差不多）。

下面讲解法： $A^ {-1}=frac{1}{|A|}A^{ast}$ （1.1）

从式1.1中就可以看出，原矩阵就必须是个方阵，且 $|A|≠0$ ，因为在不知道广义逆之前，只有方阵才能算行列式的值，且其作为分母不能为零。

$A^{ast}$ 就是方阵 $A$ 的“伴随矩阵”（真的......算了还是写在这里吧）。

在行列式里讲了余子式 $M_{ij}$ 和代数余子式 $A_{ij}$ ，那伴随矩阵其实就是 $A^ {ast}=left( egin{array}{ccc} A_{1,1} &A_{1,2} &cdotcdotcdot & A_{1,n} \ A_{2,1} &A_{2,2} &cdotcdotcdot & A_{2,n} \ cdotcdotcdot\ A_{n,1} &A_{n,2} &cdotcdotcdot & A_{n,n} \ end{array} ight)^{T}= left( egin{array}{ccc} A_{1,1} &A_{2,1} &cdotcdotcdot & A_{n,1} \ A_{1,2} &A_{2,2} &cdotcdotcdot & A_{n,2} \ cdotcdotcdot\ A_{1,n} &A_{2,n} &cdotcdotcdot & A_{n,n} \ end{array} ight)$

也就是方阵 $A$ 的“伴随矩阵" 就是把方阵 $A$ 中的元素 $a_{ij}$ 替换成对应的代数余子式 $A_{ij}$ 然后转置即可。

作者：网瘾少年

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2、矩阵的伪逆和左右逆

伪逆矩阵：

伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵，但在matlab里可以用函数pinv(A)求其伪逆矩阵。基本语法为X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中tol为误差,pinv为pseudo-inverse的缩写：max(size(A))*norm(A)*eps。函数返回一个与A的转置矩阵A' 同型的矩阵X，并且满足：AXA=A,XAX=X.此时，称矩阵X为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。pinv(A)具有inv(A)的部分特性，但不与inv(A)完全等同。　如果A为非奇异方阵，pinv(A)=inv(A)，但却会耗费大量的计算时间，相比较而言，inv(A)花费更少的时间。

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