等价类计数：Burnside引理和Polya定理阐述和相关例题

Burnside引理
- 例题1.1
- 例题1.2
Polya定理

都是利用了群论研究计数问题。它们联系密切，可以从Burnside引理推出Polya定理。
记(c(f))是置换(f)的圆分解后cycle个数，颜色数(m)
其实Polya定理就是说置换(f)的不动点个数为(m^{c(f)})。
(因为对每个cycle而言，其中的各元素都涂相同种颜色才会在置换(f)作用下保持不变)

Burnside引理

用(D(a_j))表示在置换(a_j)下不变的元素的个数。(L)表示本质不同的方案数目。

[L=frac{1}{|G|}sumlimits_{j=1}^{s}D(a_j) ]

用中文表述Burnside引理的话，
集合(M)关于置换群(G)的等价类数目，等于(G)中每个置换下不动点的个数的算术平均数。

例题1.1

问你长为4的01构成的环有多少种？

对应的置换群是(mathbb{Z_4})群

记(a_1)是恒等变换(egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \ 1 & 2 & 3 & 4 end{pmatrix})，(a_2)是(egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \ 2 & 3 & 4 & 1 end{pmatrix})，(a_3)是(egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \ 3 & 4 & 1 & 2 end{pmatrix})，(a_4)是(egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \4 & 1 & 2 & 3 end{pmatrix})

在置换(a_1)下不变有16种(全部长度为4的01排列共(2^4种))

在置换(a_2)下不变有2种 0000和1111

在置换(a_3)下不变有4种 0000和1111和1010和0101

在置换(a_4)下不变有2种 0000和1111

[L=frac{1}{4}(16+2+4+2)=6 ]

例题1.2

写个特没意思的，现在想知道3-排列集合在(mathbb{S_3})群下的等价类个数

[1=frac{1}{6}(0+0+0+0+0+6) ]

Polya定理

设(G)是(p)个对象的一个置换群，用(m)种颜色涂染(p)个对象，则不同染色方案为:

[L=frac{1}{|G|}(m^{c(g_1)}+m^{c(g_2)}+...+m^{c(g_s)}) ]

其中：(G={g_1,g_2,...,g_{s}})，(c(g_i))为置换(g_i)的循环节数（即置换圆分解后的圆个数）

例题2.1

等边三角形的三个顶点用红绿蓝三种颜色来着色，问你本质不同的方案数。

对应的群是二面体群(mathbb{D_3}={(1)(2)(3),(123),(321),(1)(23),(2)(13),(3)(12)})

[L=frac{1}{6}[(3)^3+(3)^1+(3)^1+(3)^2+(3)^2+(3)^2]=10 ]

[egin{aligned} L(r,g,b)&=frac{1}{6}{(r+g+b)^3+(r^3+g^3+b^3)+(r^3+g^3+b^3)+[(r+g+b)(r^2+b^2+g^2)]+[(r+g+b)(r^2+b^2+g^2)]+[(r+g+b)(r^2+b^2+g^2)]}\ &=frac{1}{6}{6 b^3+6 b^2 g+6 b^2 r+6 b g^2+6 b g r+6 b r^2+6 g^3+6 g^2 r+6 g r^2+6 r^3} end{aligned} ]

如果想看特定颜色组合情形，用类似母函数的方法替换3为((r+g+b))或((r^2+g^2+b^2))或((r^3+g^3+b^3))

比如((1)(23))对应的就是((r+g+b)(r^2+g^2+b^2))

((123))对应的就是((r^3+g^3+b^3))

例题2.2

正方体的4条体对角线用红蓝两种颜色着色，问你有多少种本质不同的着色方案。

对应的置换群是(mathbb{S_4})，里面的旋转诱导了(4根)体对角线的置换，并且由其确定。

把体对角线看成元素。

(mathbb{S_4})共有24个置换，

圆分解后圆的个数	这样的置换个数
1	6
2	11
3	6
4	1

[egin{aligned} L&=frac{1}{24}[sumlimits_{i=1}^{4}S_1(4,i)cdot2^i]\ &=frac{1}{24}(6cdot2^1+11cdot2^2+6cdot2^3+1cdot2^4)\ &=5 end{aligned} ]

例题2.3

正方体的8个顶点用红蓝两种颜色着色，问你有多少种本质不同的着色方案。

有24个置换，这次把8个点看作元素

置换	圆分解后圆个数	这样的置换个数
恒等变换	8	1
①	4	6
②	4	8
③	2，4	6，3

①:对棱中点连线为转轴，对应一个180度旋转，这样的旋转轴有6个（对应6对相对的棱），故6个旋转
②:体对角线为转轴，对应一个120度或者240度旋转，这样的旋转轴有4个（对应4个主对角线），故8个旋转
③:对面中心连线为转轴，对应一个90,180,270度旋转，这样的旋转轴有3个（对应3个坐标方向），因此有3x3=9个旋转

[egin{aligned} L&=frac{1}{24}[1cdot2^8+6cdot2^4+8cdot2^4+6cdot2^2+3cdot2^4]\ &=23 end{aligned} ]

例题2.4

正方体的6个面用红蓝两种颜色着色，问你有多少种本质不同的着色方案。

有24个置换，这次把6个面看作元素

置换	圆分解后圆个数	这样的置换个数
恒等变换	6	1
①	5	6
②	2	8
③	3，4	6，3

[egin{aligned} L&=frac{1}{24}[1cdot2^6+6cdot2^5+8cdot2^2+6cdot2^3+3cdot2^4]\ &=24 end{aligned} ]

例题2.5

正四面体的4个顶点用红蓝两种颜色着色，问你有多少种本质不同的着色方案。

有12个置换：
恒等变换，1个
顶点和对面中点连线为转轴的120°或240°旋转，共8个
对棱中点连线为转轴的180°旋转，共3个

把4个顶点看作元素，

这是交错群(mathbb{A_4}={(0)(1)(2)(3),(123),(132),(021),(012),(031),(013),(023),(032),(01)(23),(03)(12),(02)(13)})

[L=frac{1}{12}(1cdot2^4+8cdot2^2+3cdot2^2)=5 ]

如果是给正四面体的4个面用红蓝两种颜色着色，答案也是5。把4个面看作元素，群也是交错群(mathbb{A_4})

我想到了以前算同分异构体的时候，当时还不知道Burnside引理和Polya定理，群论更是一窍不通。。。
我的入门书应该是Nathan Carter的Visual Group Theory
推荐这个github.ioGroupExplorer

等价类计数：Burnside引理和Polya定理 阐述和相关例题