乘方快速幂

乘方快速幂，是为了解决a^b次方普通计算方法太慢的问题。

计算a的b次方，普通的for循环求法如下(O(n))：

1 int a(int x,int n)
2 {
3     int t=1;
4     for(int i=1;i<=n;i++)
5     {
6         t=t*x;
7     }
8     return t;
9 }

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递归求法：

1 int Pow(int a,int b)
2 {
3     if(b==0)
4         return  1;
5     else
6         return Pow(a,b-1)*a;
7 }

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二分（递归）求法：

1 int pow(int a,int b)
2 {
3     if(b==0)
4         return 1;
5     if(b%2==0)
6         return pow(a*a,b/2);
7     return a*pow(a*a,b/2);
8 }

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当然，数学函数pow(a,b)一步解决问题。但是，因为对时间的要求，有些算法往往时间效率不高，而乘方快速幂也是（O（logn））的解法。

首先，3的26次方，我们可以发现它完全不需要一次一次的乘，因为26次方==2^1+2^3+2^4=2+8+16

所以3^26 = 3^2 *3^8 * 3^16,而3^2=(3^1)^2,(3^4)=(3^2)^2,3^8=(3^4)^2,所以O（logn）的时间可求出3^2,

3^4,3^8...当然，如果指数很大的话，我们不好一点一点分析如何差解，所以我们拿指数的二进制入手。

如26的二进制表示为11010,1对应的权值为16,8,2。它们表示的含义即为对应的乘方次幂是需要的。当然这种分发不唯一的，你也可以分成8,8,4,4,2。但是为了计算方便和应对指数幂很大的情况，根据二进制位是1来划分是最高效的。

对应的算法如下：

 1 long long  Quick_Pow(long long  a,long long  b）
 2     {
 3         long long  ans = 1;
 4         while(b)//指数不为0
 5         {
 6             if(b & 1)//b为奇数，即二进制最右边一位为1时，说明需要乘这个数
 7                  ans = ans * a ;
 8             a = a*a ;//否则底数自乘积
 9             b >>= 1;//右移1位
10         }
11         return ans;
12     }

可以简单检验运行结果。

当然，当结果很大的时候，或要求对答案进行取模处理，这只需要在代码中简单处理即可。

 1 long long  Quick_Pow(long long  a,long long  b,long long mod）
 2     {
 3         long long  ans = 1;
 4         while(b)
 5         {
 6             if(b & 1)
 7                  ans = ans * a % mod ;
 8             a = a*a % mod ;
 9             b >>= 1;
10         }
11         return ans;
12     }

题目链接：

Raising Modulo Numbers 、 Pseudoprime numbers P3414 SAC#1 - 组合数