剑指offer_43_1~n整数中出现 1 的次数

1~n 整数中1出现的次数

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/1nzheng-shu-zhong-1chu-xian-de-ci-shu-lcof/

题目内容：

输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。

示例 1：

输入：n = 12
输出：5

示例 2：

输入：n = 13
输出：6

限制：

1 <= n < 2^31

题目解析

题目解析内容来自于题解中Krahets

解题思路：

将 1 ~ n 的个位，十位，百位、... 的 1 出现的次数相加，即为 1 出现的次数。

设数字 n 是个 x 位数，记 n 的第 i 位为 n_i ，则可将 n 写为 n_xn_x-1... n₂n₁:

称 "n_i"为 当前位，记为 cur
将 "n_i-1n_i-2...n₂n₁"称为低位，记为 low
将 "n_xn_x-1...n_i+2n_i+1"称为高位，记为 high
将 10ⁱ称为 位因子，记为 dight

某位中 1 出现次数的计算方法：
根据当前位 cur 值的不同，分为以下三种情况：

当 cur = 0 时：此位 1 的出现次数只由高位 high 决定，计算公式为：
high $ imes$ digit

如下图所示，以 n = 2304 为例，求 digit = 10（即十位）的 1 出现次数。

当 cur=1 时：此位 1 的出现次数由高位 high 和低位 low 决定，计算公式为：
high $ imes$ digit + low + 1

如下图所示，以 n = 2314n=2314 为例，求 digit = 10digit=10 （即十位）的 11 出现次数。

当 cur = 2, 3, $cdots$, 9 时：此位 1 的出现次数只由高位 high 决定，计算公式为：
(high + 1) $ imes$ digit

如下图所示，以 n = 2324 为例，求 digit = 10（即十位）的 1 出现次数。

变量递推公式：
设计按照 “个位、十位、...” 的顺序计算，则 high / cur / low / digithigh/cur/low/digit 应初始化为：

high = n // 10
cur = n % 10
low = 0
digit = 1 # 个位

因此，从个位到最高位的变量递推公式为：

while high != 0 or cur != 0: # 当 high 和 cur 同时为 0 时，说明已经越过最高位，因此跳出
   low += cur * digit # 将 cur 加入 low ，组成下轮 low
   cur = high % 10 # 下轮 cur 是本轮 high 的最低位
   high //= 10 # 将本轮 high 最低位删除，得到下轮 high
   digit *= 10 # 位因子每轮 × 10

复杂度分析：

时间复杂度 O(logn) ：循环内的计算操作使用 O(1) 时间；循环次数为数字 n 的位数，即 $log_{10}{n}$ ，因此循环使用 O($log n$) 时间。
空间复杂度 O(1) ：几个变量使用常数大小的额外空间。

代码：

class Solution:
    def countDigitOne(self, n: int) -> int:
        digit, res = 1, 0
        high, cur, low = n // 10, n % 10, 0
        while high != 0 or cur != 0:
            if cur == 0: res += high * digit
            elif cur == 1: res += high * digit + low + 1
            else: res += (high + 1) * digit
            low += cur * digit
            cur = high % 10
            high //= 10
            digit *= 10
        return res