《几何与代数导引》习题1.34.2

已知某直线过点$(4,2,3)$,平行于平面$3x+2y-z=0$,垂直于直线
\begin{equation}
  \begin{cases}
    x+2y-z=5\\
z=10\\
  \end{cases}
\end{equation}
求该直线方程.

解：直线
  \begin{equation}
    \begin{cases}
      x+2y-z=5\\
z=10\\
    \end{cases}
  \end{equation}
的标准方程为
\begin{equation}
    \frac{x-7}{-2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-10}{0}
\end{equation}
可见该直线的方向向量为$(-2,1,0)$.设某直线的方向向量为
$(x_0,y_0,z_0)$.则
\begin{equation}
  -2x_0+y_0=0
\end{equation}
平面$3x+2y-z=0$的法向量为$(6,4,-2)$.可见
\begin{equation}
  6x_0+4y_0-2z_0=0
\end{equation}
所以某直线的方向向量可以为$(1,2,7)$.因此该直线方程为
\begin{equation}
  \frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{7}
\end{equation}