《几何与代数导引》习题1.34.3

在直角坐标系下，求下列直线的方程：

从点$(2,-3,-1)$引向直线$l_1:\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$
的垂线.


解：

设直线$l_1$上的任意一点$(x_0,y_0,z_0)$.显然
\begin{equation}
  \frac{x_0-1}{-2}=\frac{y_0+1}{-1}=\frac{z_0}{1}
\end{equation}
点$(2,-3,-1)$与$(x_0,y_0,z_0)$的距离$d$是
\begin{equation}
  (x_0-2)^2+(y_0+3)^2+(z_0+1)^2
\end{equation}

\begin{equation}
  d=6z_0^2+2z_0+6
\end{equation}
显然$z_0=\frac{-1}{6}$时$d$取得最小值.因此垂点坐标为
$(\frac{4}{3},\frac{-5}{6},\frac{-1}{6})$.因此欲求的直线方程为
\begin{equation}
  \frac{x-2}{4}=\frac{y+3}{-13}=\frac{z+1}{-5}
\end{equation}