对于$S$内的每一个$x$来说，$\{M_n(x)\}$都是一个由非负数组成的序列，对于$n=1,2,\cdots$及$S$内的每个$x$有$$0\leq |f_n(x)|\leq M_n(x)$$于是，如果$\sum M_n(x)$在$S$上一致收敛，则$\sum f_n(x)$在$S$上一致收敛.
证明:由于$\sum M_n(x)$在$S$上一致收敛，根据级数一致收敛的柯西条件，对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正整数$N$,使得对于一切大于$N$的正整数$m,n$来说，以及$S$上的任意$x$来说，都有
\begin{equation}
\label{eq:5.1.58}
\sum_{i=m}^n|M_i(x)|<\varepsilon
\end{equation}
即
\begin{equation}
\label{eq:5.1.59}
\sum_{i=m}^nM_i(x)<\varepsilon
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\label{eq:5.2.00}
\sum_{i=m}^n|f_i(x)|<\varepsilon
\end{equation}
根据三角不等式，
\begin{equation}
\label{eq:5.2.01}
|\sum_{i=m}^nf_i(x)|\leq \sum_{i=m}^n|f_i(x)|<\varepsilon
\end{equation}
再次根据级数一致收敛的柯西条件，可得$f_n(x)$在$S$上一致收敛.