如果$ax^2+2bx+c$有一个二重根，也即它有$a(x-\alpha)^2$的形式，那么$2ax+2b$必定可以被$x-\alpha$整除，所以有$\alpha=\frac{-b}{a}$.而且有$a\alpha^2+2b\alpha+c=0$,因此$b^2=ac$.
应用(纯数学教程 Page 203 例XLI (7)):
方程
\begin{equation}
\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}=0
\end{equation}当且仅当$a=b=c$时有一对相等的根.
证明:即
\begin{equation}
(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0
\end{equation}$x\neq a,b,c$.
即
\begin{equation}\label{eq:9.26}
3x^2+(-2a-2b-2c)x+(ab+bc+ca)=0
\end{equation}
有一对相等的根的意思就是\ref{eq:9.26}有重根 ，当且仅当
\begin{equation}
(-a-b-c)^2=3(ab+bc+ca)
\end{equation}
当且仅当
\begin{equation}
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
\end{equation}
当且仅当
\begin{equation}
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
\end{equation}
当且仅当$a=b=c$.