一個有理分式,如果它的分母是兩個互素多項式$c(x)$和$d(x)$的乘積,那麼它可以表示爲分母分別爲$c(x)$和$d(x)$的兩個商式之和.
證明:設該有理分式爲$\frac{b(x)}{c(x)d(x)}$.即證它可以表示爲如下形式:
$$\frac{P}{c(x)}+\frac{Q}{d(x)}$$
即證可以表示爲
$$\frac{Pd(x)+Qc(x)}{c(x)d(x)}$$
即證
$$Pd(x)+Qc(x)=b(x)$$
這是容易的,因爲$c(x)$和$d(x)$互素,根據Bezout定理,存在多項式$u(x)$和$v(x)$,使得$$c(x)u(x)+d(x)v(x)=1$$,因此$$c(x)[u(x)b(x)]+d(x)[v(x)b(x)]=b(x)$$可見,令$P=u(x)b(x),Q=v(x)b(x)$即可.