1.$\vec{a}\times\vec{x},\vec{b}\times\vec{x},\vec{c}\times\vec{x}$共面.
证明:从几何意义来看，这是显然的.$\Box$
2.$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$共面，当且仅当$\vec{a}\times\vec{b},\vec{b}\times\vec{c},\vec{c}\times\vec{a}$共线.
证明:从几何意义来看，这也是显然的.不过我想从代数角度来解决这个问题.
$\Rightarrow$:当$\vec{a},\vec{b}$都不等于$\vec{0}$时，$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$共面，说明$\vec{c}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$,其中$\alpha,\beta\in\bf{R}$.则
$$\vec{b}\times\vec{c}=\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
b_1&b_2&b_3\\
c_1&c_2&c_3\\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
b_1&b_2&b_3\\
\alpha a_1+\beta b_1&\alpha a_2+\beta b_2&\alpha a_3+\beta b_3\\
\end{vmatrix}=\alpha\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
b_1&b_2&b_3\\
a_1&a_2&a_3\\
\end{vmatrix}=-\alpha \begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
a_1&a_2&a_3\\
b_1&b_2&b_3\\
\end{vmatrix}
$$
而
$$\vec{c}\times\vec{a}=\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
c_1&c_2&c_2\\
a_1&a_2&a_3\\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
\alpha a_1+\beta b_1&\alpha a_2+\beta b_2&\alpha a_3+\beta b_3\\
a_1&a_2&a_3\\
\end{vmatrix}=\beta\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
b_1&b_2&b_3\\
a_1&a_2&a_3\\
\end{vmatrix}=-\beta\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
a_1&a_2&a_3\\
b_1&b_2&b_3\\
\end{vmatrix}
$$
且
$$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
a_1&a_2&a_3\\
b_1&b_2&b_3\\
\end{vmatrix}
$$
因此$\vec{a}\times\vec{b}$,$\vec{b}\times\vec{c}$,$\vec{a}\times\vec{c}$这三者两两共线.
当$\vec{a}$和$\vec{b}$两者中有一者为零向量时，命题显然成立.
$\Leftarrow$:这个我还没有找到很好的代数方法，目前只能用几何方法.
3. 设$\vec{a}$和$\vec{b}$不垂直，$\vec{a}\cdot\vec{x}=k$,$\vec{b}\times\vec{x}=\vec{c}$.试用$\vec{a},\vec{b},\vec{c},k$表示$\vec{x}$.
利用所谓的二重外积公式：
$$(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}$$
由二重外积公式可得，
$$(\vec{b}\times\vec{x})\times\vec{a}=(\vec{b}\cdot\vec{a})\vec{x}-(\vec{x}\cdot\vec{a})\vec{b}$$
即$$\vec{c}\times\vec{a}=(\vec{b}\cdot\vec{a})\vec{x}-k\vec{b}$$
解得$$\vec{x}=\frac{\vec{c}\times\vec{a}+k\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{a}}$$($\vec{a}$与$\vec{b}$垂直保证了分母不为零).