设 $(X,d)$ 是度量空间,$x_0$ 是 $X$ 的点,并且 $r>0$.设 $B$ 是开球 $B:=B(x_0,r)=\{x\in X:d(x,x_0)<r\}$,并且 $C$ 是闭球 $C:=\{x\in X:d(x,x_0)\leq r\}$.
(a)证明 $\overline{B}\subseteq C$.
证明:假设 $\overline{B}\not\subseteq C$,则 $\exists m\in \overline{B}$,使得 $m\not\in C$.则必有 $d(x_0,m)>r$.显然 $m\in\overline{B}\backslash B$ (为什么?),所以 $m$ 只能是 $B$ 的聚点,且 $m$ 是 $B$ 的边界点.这意味着存在 $B$ 中的序列 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$,该序列的极限是 $m$.这与 $d(x_0,m)>r$ 矛盾(如何矛盾?)
(b) 举例说明,存在度量空间 $(X,d)$ 和点 $x_0\in X$,$r>0$,使得 $\overline{B}\neq C$.
解:令该度量空间是离散度量空间,$r=1$.则 $B=\{x_0\}$,$C=X$.