定义于点$x_0$的邻域内的函数$f(x)$在该点处为解析的充分必要条件是:
1.它在这一点的某一邻域内无穷次可微.
2.有这样的正数$\delta,M$存在，使得对于区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$中的任意$x$与对于任意自然数$k$,成立不等式
\begin{equation}
| f^{(k)}(x)| <M \frac{k!}{\delta^{k}}
\end{equation}
$\Leftarrow:$我们来看$f(x)$在区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$内的展开:
\begin{equation}
\label{eq:1.38}
f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots
\end{equation}
我们验证该级数为绝对收敛的，只用验证下面的级数是绝对收敛的.
\begin{equation}
\label{eq:1.56}
|f(x_0)|+|\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)|+|\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2|+\cdots+|\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n|+\cdots
\end{equation}
这是很容易的，因为
\begin{equation}
\label{eq:1.58}
|\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n|<|\frac{\frac{Mn!}{\delta^n}}{n!}(x-x_0)^n|=M|\frac{x-x_0}{\delta}|^n
\end{equation}
而
\begin{equation}
|\frac{x-x_0}{\delta}|<1
\end{equation}
因此\ref{eq:1.38}绝对收敛.
$\Rightarrow$:我们知道,$\forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)$,
\begin{equation}
\label{eq:10.57}
\sum_{i=1}^{\infty}|\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i|<M-1
\end{equation}
其中$M$是一个大于1的正实数.由于$x$在$(x-\delta,x+\delta)$内的任意性，因此我们有
\begin{equation}
\label{eq:11.02}
\sum_{i=1}^{\infty}|\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}\delta^i|< M
\end{equation}
把它变得好看一点即
\begin{equation}
\label{eq:11.28}
|\frac{f^{(1)}(x_0)}{1!}\delta^1|+|\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}\delta^{2}|+\cdots<M
\end{equation}
即
\begin{equation}
\label{eq:11.31}
|\frac{f^{(N)}(x_0)}{N!}\delta^N|<M
\end{equation}
即
\begin{equation}
|f^{(N)}(x_0)|< \frac{M N!}{\delta^N}
\end{equation}
由于导函数连续，因此当$\delta$足够小时,$f^{(N)}(x)$与$f^{(N)}(x_0)$足够近，此时$$|f^{(N)}(x)|<\frac{MN!}{\delta^N}$$证毕.