设$X$和$Y$是集合，定义一个从$X$到$Y$的部分函数$f:X^{'}\to Y^{'}$.其定义域$X^{'}$是$X$的一个子集，其值域$Y^{'}$是$Y$的一个子集合.证明从$X$到$Y$的全体部分函数本身成为一个集合.
证：$X$中的任意一个子集$X^{'}$.根据幂集公理,从$X^{'}$到$Y$的全体函数形成一个集合$A_{X^{'}}$.我们已经知道,$X$的所有子集也形成一个集合$S$，根据替代公理,把$S$中的元素$X^{'}$用$A_{X^{'}}$代替.再利用并集公理,可知结论成立.