设$(a_n)_{n=m}^{\infty}$是实数列，设$L^{+}$是此序列的上极限，$L^{-}$是此序列的下极限(于是$L^{+}$和$L^{-}$都是广义实数).
(a)对于每个$x>L^{+}$,存在一个$N\geq m$,使得$a_n<x$对于一切$n\geq N$成立.对于$L^{-}$有类似的结论.
证明:利用反证法结合上极限的定义很容易证明.
(b)对于每个$x<L^{+}$,以及每个$N\geq m$,存在一个$n\geq N$使得$a_n>x$.对于$L^{-}$有类似结论.
证明:证明也很简单.利用反证法即可.我说证明都很简单的时候,读者千万不要生气啊,真的是很简单啊.
(d)如果$c$是$(a_n)_{n=m}^{\infty}$的极限点，那么$L^{-}\leq c\leq L^{+}$.
证明:利用反证法，再结合$(a)$,这是显然的.
(e)如果$L^{+}$是有限的，那么它是$(a_n)_{n=m}^{\infty}$的极限点.$L^{-}$的情况类似.
证明:根据$(a),(b)$,很容易得证.