设$X$是实直线的子集合，并设$Y$是集合，使得$X\subseteq Y\subseteq \overline{X}$,证明$\overline{Y}=\overline{X}$.
证明:因为$X\subseteq Y$,根据引理9.1.11，可知
\begin{align*}
\overline{X}\subseteq \overline{Y}
\end{align*}
又因为$Y\subseteq \overline{X}$,可知
\begin{align*}
\overline{Y}\subseteq \overline{\overline{X}}
\end{align*}
根据陶哲轩实分析定义9.1.10 注记：闭包和闭集易得$\overline{\overline{X}}=\overline{X}$,因此$\overline{Y}\subseteq \overline{X}$.综上$\overline{Y}=\overline{X}$.