(中值定理) 设 $f:X\to \mathbf{R}$ 是从度量空间 $(X,d_X)$ 到实直线的连续映射.设 $E$ 是 $X$ 的连通子集合,并设 $a,b\in X$.设 $y$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的实数.那么存在 $c\in E$,使得 $f(c)=y$.证明:由于 $E$ 在 $X$ 中是连通的,因此根据陶哲轩实分析 定理 13.4.6, $f(E)$ 在 $\mathbf{R}$ 中也是连通的,因此根据陶哲轩实分析 定理 13.4.5,$f(E)$ 是 $\mathbf{R}$ 中的区间.因此命题成立.