5.求下列两个微分方程的公共解.
$$
y'=y^2+2x-x^4,y'=2x+x^2+x^4-y-y^2.
$$
解:将两个微分方程联立,则
$$
egin{cases}
y'=y^2+2x-x^4\
y'=2x+x^2+x^4-y-y^2\
end{cases}
$$
于是,对于任意的 $x_0$,我们都有
$$
egin{cases}
y'(x_0)=y^2(x_0)+2x_0-x_0^4\
y'(x_0)=2x_0+x_0^2+x_0^4-y(x_0)-y^2(x_0)\
end{cases}
$$
于是,$y^2(x_0)+2x_0-x_0^4=2x_0+x_0^2+x_0^4-y(x_0)-y^2(x_0)$,则$-2(y(x_0)+x_0^2)(y(x_0)-x_0^2)=y(x_0)-x_0^2$.可见, $y(x_0)=x_0^2$ 和 $y(x_0)=-frac{1}{2}-x_0^2$.于是,微分方程的公共解为 $y=x^2$ 或$y=-frac{1}{2}-x^2$.
8(2).曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长 $l$.
解:设曲线为 $f(x,y)=0$.则以 $p$ 轴为横坐标,$m$ 轴为纵坐标,则过点 $(x,y)$ 的切线方程为
$$
m-y=frac{dy}{dx}(p-x).
$$
令 $p=0$,得 $m=y-frac{dy}{dx}x$.令 $m=0$,得$p=x-frac{y}{frac{dy}{dx}}$.则
$$
(y-frac{dy}{dx}x)^2+(x-frac{y}{frac{dy}{dx}})^2=l^2.
$$