tex源代码如下:
1 documentclass[a4paper, 12pt]{article} 2 usepackage{amsmath,amsfonts,bm} 3 usepackage{hyperref} 4 usepackage{amsthm} 5 usepackage{amssymb} 6 usepackage{framed,mdframed} 7 usepackage{graphicx,color} 8 usepackage{mathrsfs,xcolor} 9 usepackage[all]{xy} 10 usepackage{fancybox} 11 usepackage{xeCJK,epigraph} 12 ewtheorem*{adtheorem}{定理} 13 setCJKmainfont[BoldFont=FZYaoTi,ItalicFont=FZYaoTi]{FZYaoTi} 14 definecolor{shadecolor}{rgb}{1.0,0.9,0.9} 15 ewenvironment{theorem} 16 {igskipegin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]egin{adtheorem}} 17 {end{adtheorem}end{mdframed}igskip} 18 ewtheorem*{bdtheorem}{定义} 19 ewenvironment{definition} 20 {igskipegin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]egin{bdtheorem}} 21 {end{bdtheorem}end{mdframed}igskip} 22 ewtheorem*{cdtheorem}{习题} 23 ewenvironment{exercise} 24 {igskipegin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]egin{cdtheorem}} 25 {end{cdtheorem}end{mdframed}igskip} 26 ewtheorem*{ddtheorem}{注} 27 ewenvironment{remark} 28 {igskipegin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]egin{ddtheorem}} 29 {end{ddtheorem}end{mdframed}igskip} 30 ewtheorem*{edtheorem}{引理} 31 ewenvironment{lemma} 32 {igskipegin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]egin{edtheorem}} 33 {end{edtheorem}end{mdframed}igskip} 34 ewtheorem*{pdtheorem}{例} 35 ewenvironment{example} 36 {igskipegin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]egin{pdtheorem}} 37 {end{pdtheorem}end{mdframed}igskip} 38 39 usepackage[protrusion=true,expansion=true]{microtype} 40 usepackage{wrapfig} 41 usepackage{mathpazo} 42 usepackage[T1]{fontenc} 43 linespread{1.05} 44 45 makeatletter 46 enewcommand@biblabel[1]{ extbf{#1.}} % Change the square brackets for each bibliography item from '[1]' to '1.' 47 enewcommand{@listI}{itemsep=0pt} % Reduce the space between items in the itemize and enumerate environments and the bibliography 48 49 enewcommand{maketitle}{ % Customize the title - do not edit title 50 % and author name here, see the TITLE block 51 % below 52 enewcommand efname{参考文献} 53 ewcommand{D}{displaystyle} ewcommand{ i}{Rightarrow} 54 ewcommand{ds}{displaystyle} enewcommand{ i}{ oindent} 55 ewcommand{pa}{partial} ewcommand{Om}{Omega} 56 ewcommand{om}{omega} ewcommand{sik}{sum_{i=1}^k} 57 ewcommand{vov}{VertomegaVert} ewcommand{Umy}{U_{mu_i,y^i}} 58 ewcommand{lamns}{lambda_n^{^{scriptstylesigma}}} 59 ewcommand{chiomn}{chi_{_{Omega_n}}} 60 ewcommand{ullim}{underline{lim}} ewcommand{sy}{oldsymbol} 61 ewcommand{mvb}{mathversion{bold}} ewcommand{la}{lambda} 62 ewcommand{La}{Lambda} ewcommand{va}{varepsilon} 63 ewcommand{e}{eta} ewcommand{al}{alpha} 64 ewcommand{dis}{displaystyle} ewcommand{R}{{mathbb R}} 65 ewcommand{N}{{mathbb N}} ewcommand{cF}{{mathcal F}} 66 ewcommand{gB}{{mathfrak B}} ewcommand{eps}{epsilon} 67 egin{flushright} % Right align 68 {LARGE@title} % Increase the font size of the title 69 70 vspace{50pt} % Some vertical space between the title and author name 71 72 {large@author} % Author name 73 \@date % Date 74 75 vspace{40pt} % Some vertical space between the author block and abstract 76 end{flushright} 77 } 78 79 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 80 % TITLE 81 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 82 egin{document} 83 itle{ extbf{《基础偏微分方程》footnote{David Bleecker,George 84 Csordas著,李俊杰译.高等教育出版社,丘成桐主编数学翻译丛 85 书.}习题1.1.20:证明二阶齐次线性方程的通解可以表示成任意两个线性无 86 关解的线性组合}} setlengthepigraphwidth{0.7linewidth} 87 epigraph{汝当更求古之哲王以为师,如吾,不足法也.夫取法于上,仅得其中;取法 88 于中,不免为下.}{唐太宗《帝范》} author{small{叶卢庆}\{small{杭州 89 师范大学理学院,学号:1002011005}}\{small{Email:h5411167@gmail.com}}} % Institution 90 enewcommand{ oday}{ umberyear. umbermonth. umberday} 91 date{ oday} % Date 92 93 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 94 95 96 maketitle % Print the title section 97 98 99 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 100 % ABSTRACT AND KEYWORDS 101 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 102 103 % enewcommand{abstractname}{摘要} % Uncomment to change the name of the abstract to something else 104 105 % egin{abstract} 106 107 % end{abstract} 108 109 % hspace*{3,6mm} extit{关键词:} % Keywords 110 111 % vspace{30pt} % Some vertical space between the abstract and first section 112 113 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 114 % ESSAY BODY 115 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 116 通过完成下列步骤,证明二阶齐次线性方程 $ay''+by'+cy=0$ [其中 $a,b,c$为 117 常数且 $a eq 0$.]的通解具有 $phi(x,c_1,c_2)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$ 的 118 形式,其中$y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是任意两个线性无关的解.这里假设所考虑的 119 函数处处具连续的二阶导数(这是为了让隐函数定理发挥作用).\ 120 121 根据通解的定义,我们只用证明 $c_1$ 和 $c_2$ 是函数独立的,也就是证明 122 $forall xin I$, 123 $$ 124 egin{vmatrix} 125 frac{paphi}{pa c_1}(x)&frac{pa phi}{pa c_2}(x)\ 126 frac{paphi'}{pa c_1}(x)&frac{pa phi'}{pa c_2}(x) 127 end{vmatrix}=egin{vmatrix} 128 y_1(x)&y_2(x)\ 129 y_1'(x)&y_2'(x) 130 end{vmatrix} eq 0. 131 $$ 132 结合如下两个引理: (b)和 (a),我们可以直接得到上述结论.注意,引理 (a) 的 133 意思是,两个函数线性无关,表明存在 $x_0in I$,使得 Wronskian 不为0.这一 134 点结合引理 (b),得到 Wronskian 在整个 $I$ 上不为0. 135 egin{exercise}[1.1.20,(b)] 136 extbf{Abel} 公式:证明如 $y(x),z(x)$ 是 $ay''+by'+cy=0$ 的任意 137 解,则 $W[y,z](x)$ 是$aW'(x)+bW(x)=0$ 的解.于是存在依赖于 $y$ 和 $z$ 138 的常数 $C$,有 $W[y,z](x)=Cexp(-bx/a)$. 139 end{exercise} 140 egin{proof}[探索与证明] 141 我们有 142 egin{equation} 143 label{eq:3} 144 ay''+by'+cy=0, 145 end{equation} 146 egin{equation} 147 label{eq:4} 148 az''+bz'+cz=0. 149 end{equation} 150 把 $a,b,c$ 看作未知数,eqref{eq:3} 和 eqref{eq:4} 是两个方程,显然不 151 能解出 $a,b,c$.但是要寻找它们之间的关系应该还是可以做到的.将方 152 程eqref{eq:3} 的两边同时乘以 $z$,得到 153 egin{equation} 154 label{eq:5} 155 azy''+bzy'=-czy. 156 end{equation} 157 将方程 eqref{eq:4} 的两边同时乘以 $y$,得到 158 egin{equation} 159 label{eq:6} 160 ayz''+byz'=-czy. 161 end{equation} 162 方程 eqref{eq:5} 和方程 eqref{eq:6} 相减,可得 163 egin{equation} 164 label{eq:7} 165 azy''-ayz''+bzy'-byz'=0. 166 end{equation} 167 eqref{eq:7} 即 168 egin{equation} 169 label{eq:8} 170 a egin{vmatrix} 171 z&y\ 172 z''&y''\ 173 end{vmatrix}+b egin{vmatrix} 174 z&y\ 175 z'&y'\ 176 end{vmatrix}=0. 177 end{equation} 178 于是 $aW'(x)+bW(x)=0$ 成立. 179 end{proof} 180 egin{exercise}[1.1.20,(a)] 181 证明两函数 $f(x),g(x)$($frac{f(x)}{g(x)}$或 $frac{g(x)}{f(x)}$ 是可 182 微的)在某个区间 $I$ 上线性相关的充要条件是它们的 Wronskian 183 $$ 184 W[f,g](x)=egin{vmatrix} 185 f(x)&g(x)\ 186 f'(x)&g'(x) 187 end{vmatrix} 188 $$ 189 对所有的 $xin I$ 为零. 190 end{exercise} 191 egin{proof}[证明] 192 当 $f(x),g(x)$ 在 $I$ 上线性相关,说明存在不全为0的实 193 数 $lambda_1,lambda_2$,使得 194 egin{equation} 195 label{eq:1} 196 lambda_1f(x)+lambda_2g(x)=0. 197 end{equation} 198 因此 199 egin{equation} 200 label{eq:2} 201 lambda_1f'(x)+lambda_2g'(x)=0. 202 end{equation} 203 把上面的两个方程联立,把 $lambda_1,lambda_2$ 看作未知量.由于 204 $$ 205 egin{vmatrix} 206 f(x)&0\ 207 f'(x)&0\ 208 end{vmatrix} 209 $$ 210 和 211 $$ 212 egin{vmatrix} 213 0&g(x)\ 214 0&g'(x)\ 215 end{vmatrix} 216 $$ 217 都为0,因此根据 Cramer 法则,为了使得 $lambda_1,lambda_2$ 存在且不全 218 为0,必须使 219 $$ 220 egin{vmatrix} 221 f(x)&g(x)\ 222 f'(x)&g'(x) 223 end{vmatrix}=0. 224 $$\ 225 226 反之,如果 227 $$ 228 egin{vmatrix} 229 f(x)&g(x)\ 230 f'(x)&g'(x) 231 end{vmatrix}=0, 232 $$ 233 则根 234 据 Cramer 法则,eqref{eq:1} 和 eqref{eq:2} 中的$lambda_1,lambda_2$ 235 也存在不全为0的解. 236 end{proof} 237 238 239 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 240 % BIBLIOGRAPHY 241 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 242 243 ibliographystyle{unsrt} 244 245 ibliography{sample} 246 247 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 248 end{document}
更新1:个人认为题目中的二阶导函数连续这个条件是不必的.