96. Unique Binary Search Trees

问题描述：

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1 ... n?

Example:

Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's:

   1         3     3      2      1
           /     /      /       
     3     2     1      1   3      2
    /     /                        
   2     1         2                 3

解题思路：

这道题可以用动态规划来解：

若有n个数字，每一个数字都可能是根节点，从中抽取   1 ≤ i ≤ n

可以抽象出一棵树：

　　　　　　　　　　　　　　　

左子树为由 [1, i-1]构成的树，有i-1个节点

右子树为由[i+1, n]构成的树，有n-i个节点

所以状态转移方程为：

dp[i] = Σ(dp[k] * dp[i-k-1])  1 ≤ k ≤ i

代码：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n+1, 0);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            for(int k = 0; k < i; k++){
                dp[i] += dp[k] * dp[i - k - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};