7.1 矩阵-数学定义
在线性代数中, 矩阵就是以行和列形式组织的矩形数字块。矩阵是向量的数组。
7.1.1 矩阵的维度和记法
矩阵的维度被定义为它包含了多少行和多少列。一个(r imes c)矩阵有r行， c列。下面是一个(4 imes 3)矩阵的例子：
(egin{bmatrix}
4 & 0 & 12 \
-5 & 4 & 3 \
12 & -4/3 & -1 \
1/2 & 18 & 0 \
end{bmatrix})
黑色大写字母表示矩阵，如：M，A，R。需要引用矩阵的分量时，采用下标法，常用对应的斜体小写字母。如下(3 imes 3)矩阵所示：
(egin{bmatrix}
m_{11} & m_{12} & m_{13} \
m_{21} & m_{22} & m_{23} \
m_{31} & m_{32} & m_{33} \
end{bmatrix})
7.1.2 方阵
行数和列数相同的矩阵称为方阵。
方阵的对角线元素就是方阵中行号和列号相同的元素。
对角矩阵
所有非对角线元素都是0，如：
(egin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \
0 & -5 & 0 \
0 & 0 & 2 \
end{bmatrix})
单位矩阵
(n)维单位矩阵记作(I_n)，是(n imes n)矩阵，对角线元素都为1，其他元素为0。如，(3 imes 3)单位矩阵：
(I_3 = egin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 \
end{bmatrix})
7.1.3 向量做为矩阵使用
矩阵的行数和列数可以是任意正整数，当然也包括1。一个(n)维向量能被当作(1 imes n)矩阵或(n imes 1)矩阵。(1 imes n)矩阵称为行向量，(n imes 1)矩阵称为列向量。如：
(egin{bmatrix}1 & 2 & 3end{bmatrix}
egin{bmatrix}
1\
2\
3end{bmatrix})
7.1.4 转置
一个(r imes c)矩阵(M)。(M)的转置记作(M^T)，是一个(c imes r)矩阵((M_{ij}^T = M_{ji}))，即沿着矩阵的对角线翻折。
(egin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
7 & 8 & 9 \
10 & 11 & 12 \
end{bmatrix}^T = egin{bmatrix}
1 & 4 & 7 & 10\
2 & 5 & 8 & 11\
3 & 6 & 9 & 12 \
end{bmatrix})
行列向量之间的转换
(egin{bmatrix}x & y & zend{bmatrix}^T = egin{bmatrix} x\ y\ zend{bmatrix}) (egin{bmatrix}x & y & zend{bmatrix} = egin{bmatrix} x\ y\ zend{bmatrix}^T)
基本原理
- 对任意矩阵(M), ((M^T)^T = M)
- 对于任意对角矩阵(D), 都有(D^T = D)，包括单位矩阵(I)也是如此。
7.1.5 标量和矩阵的乘法
矩阵(M)和标量(k)相乘，结果是一个和(M)维数相同的矩阵。记法如下：
(kM = k egin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \ m_{21} & m_{22} & m_{23} \ m_{31} & m_{32} & m_{33} \ end{bmatrix} = egin{bmatrix} km_{11} & km_{12} & km_{13} \ km_{21} & km_{22} & km_{23} \ km_{31} & km_{32} & km_{33} \ end{bmatrix})
7.1.6 矩阵乘法
(C = AB)
(c_{ij} = displaystylesum_{k=1}^na_{ik}b_{kj})
如：
(AB = egin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \
a_{21} & a_{22} \
end{bmatrix} egin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} \
b_{21} & b_{22} \
end{bmatrix} = egin{bmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \
end{bmatrix})
乘法规则
- (MI = IM = M)
- 不满足交换律：(AB e BA)
- 结合律：((AB)C = A(BC))
- 与标量的结合律：((kA)B = k(AB) = A(kB))
- 转置: ((AB)^T = B^TA^T)
7.2 矩阵 - 几何解释
一般来说，方阵能描述任意线性变换。
(egin{bmatrix}1 \ -3 \ 4 \ end{bmatrix} = egin{bmatrix}1 \ 0 \ 0 \ end{bmatrix} + egin{bmatrix}0 \ -3 \ 0 \ end{bmatrix} + egin{bmatrix}0 \ 0 \ 4 \ end{bmatrix})
一般来说：任意向量(v)都能写为“扩展”形式：
(v=egin{bmatrix}x \ y \ z \ end{bmatrix} =
egin{bmatrix}x \ 0 \ 0 \ end{bmatrix} +
egin{bmatrix}0 \ y \ 0 \ end{bmatrix} +
egin{bmatrix}0 \ 0 \ z \ end{bmatrix})
或
(v=egin{bmatrix}x \ y \ z \ end{bmatrix} =
xegin{bmatrix}1 \ 0 \ 0 \ end{bmatrix} +
yegin{bmatrix}0 \ 1 \ 0 \ end{bmatrix} +
zegin{bmatrix}0 \ 0 \ 1 \ end{bmatrix})
注意，右边的单位向量就是(x,y,z)轴，用向量重写上面的等式，分别用(p, g, r)定义为指向(+x, +y, +z)方向的单位向量
(v = xp + yp + zr)
将向量表示为基向量的线性组和
用三个向量(p, q, r)来构建一个(3 imes 3)的矩阵(M)，可以得到如下公式
(M=egin{bmatrix}p \ q \ r \ end{bmatrix} = egin{bmatrix}p_x & p_y & p_z \ q_x & q_y & q_z \ r_x & r_y & r_z \ end{bmatrix})
用一个向量乘以该矩阵，得到：
(egin{bmatrix}x & y & zend{bmatrix}egin{bmatrix}p_x & p_y & p_z \
q_x & q_y & q_z \
r_x & r_y & r_z \
end{bmatrix} = egin{bmatrix}xp_x + yq_x + zr_x & xp_y + yq_y + zr_y & xp_z + yq_z + zr_zend{bmatrix} = xp + yq + zr)
如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量，那么乘以该向量就相当于执行了一次坐标转换。若有(aM = b)，我们就可以说，(M)将(a)转换到(b)。