向量组的秩

向量组的秩

定义 3.5.1 极大无关组

设在线性空间(V)中有一族向量(S)（其中可能只有有限个向量，也可能有无限个向量），如果在(S)中存在一组向量({alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r})适合下列条件：

1. ({alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r})线性无关；
2. 这族向量中的任意一个向量都可以用({alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r})线性表示，

那么称({alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r})是向量族(S)的极大线性无关组，简称极大无关组。

上述定义(2)表示若将(S)中任一向量(alpha)加入({alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r})，则向量组({alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r,alpha})一定线性相关。

命题 3.5.1 极大无关组的存在性

设(S)是有限个向量组成的向量族且至少包含一个非零向量，则(S)r的极大无关组一定存在。

引理 3.5.1 向量组间个数关系

设(A,B)是(V)中两组向量，(A)含有(r)个向量，(B)含有(s)个向量。如果(A)中向量线性无关且(A)中每个向量均可用(B)中向量线性表示，则(rle s)。

引理 3.5.1 的逆否命题用一句话来概括：“多”若可以用“少”来线性表示，则“多”线性相关。

引理 3.5.2 无关组间个数关系

设(A,B)都是(V)中线性无关的向量组，又(A)中任一向量均可用(B)中向量线性表示，(B)中任一向量也可用(A)中向量线性表示，则这两组向量所含的向量个数相等。

定理 3.5.1 向量族的极大无关组向量个数相等

设(A,B)都是向量族(S)的极大线性无关组，则(A,B)所含的向量个数相等。

定义 3.5.2 向量族的秩

向量族(S)的极大无关组所含的向量个数称为(S)的秩，记做(rank(S))或(r(S))。

定义 3.5.3 向量组等价

若向量组(A)和(B)可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

定理 3.5.2 等价的向量组有相同的秩

定义 3.5.4 基

设(V)是数域(K)上的线性空间，若在(V)中存在线性无关的向量({e_1,e_2,cdots,e_n})，使得(V)中任一向量均可表示为这组向量的线性组合，则称({e_1,e_2,cdots,e_n})是(V)的一组基，线性空间(V)称为(n)维线性空间（具有维数(n)）。如果不存在有限个向量组成 (V)的一组基，则称(V)是无限维向量空间。

注：对任一无限维线性空间，也有基的概念。无限维线性空间的存在性证明超出了高等代数的范围。

推论 3.5.1 n维线性空间(V)中任一超过(n)个向量的向量组必线性相关

定理 3.5.3 基的形式

设(V)是(n)维线性空间，({e_1,e_2,cdots,e_n})是(V)中的(n)个向量。若它们适合下列条件之一，则({e_1,e_2,cdots,e_n})是(V)的一组基：

1. ({e_1,e_2,cdots,e_n})线性无关；
2. (V)中任一向量均可由({e_1,e_2,cdots,e_n})线性表示。

定理 3.5.4 基的组成

设(V)是(n)维线性空间，({v_1,v_2,cdots,v_m})是(V)中的(m(m<n))个线性无关的向量，又假定({e_1,e_2,cdots,e_n})是(V)的一组基，则必可在({e_1,e_2,cdots,e_n})中选出(n-m)个向量，使之的({v_1,v_2,cdots,v_m})一起组成(V)的一组基。