向量组的线性相关性

定理1 向量b能由向量组A：a₁, a₂, …, a_m 线性表示的充要条件是矩阵A=( a₁, a₂, …, a_m) 的秩等于矩阵B=(a₁, a₂, …, a_m, b)的秩。

定理2 向量组B：b₁, b₂, …, b_l 能由向量组A：a₁, a₂, …, a_m线性表示的充要条件是矩阵A=( a₁, a₂, …, a_m)的秩等于矩阵(A, B)=( a₁, a₂, …, a_m, b₁, b₂, …, b_l)的秩，即R(A) = R(A, B)。

推论：向量组A：a₁, a₂, …, a_m 与向量组B：b₁, b₂, …, b_l 等价的充要条件是R(A) = R(B) = R(A, B)。

定理3 设向量组B：b₁, b₂, …, b_l 能由向量组A：a₁, a₂, …, a_m线性表示，则R(A)≥ R(B)。

定理4 向量组A：a₁, a₂, …, a_m线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A=( a₁, a₂, …, a_m) 的秩小于向量个数m；向量组A线性无关的充要条件是R(A) = m。

定理5 (1) 若向量组A：a₁，…，a_m线性相关，则向量组B：a₁, …, a_m, a_m+1也线性相关。反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关。

(2) m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关。特别地，n+1个n维向量一定线性相关。

(3) 设向量组A：a₁, a₂, …, a_m线性无关，而向量组B：a₁, …, a_m, b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是惟一的。

定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩

解的性质，

Ax = 0 (2)

Ax = b (5)

性质1 若x = ξ₁，x = ξ₂为向量方程(2)的解，则x = ξ₁ + ξ₂ 也是向量方程(2)的解。

性质2 若x = ξ₁ 为向量方程(2)的解，则x = kξ₁ 也是向量方程(2)的解。

性质3 设x = η₁ 及x = η₂ 都是向量方程(5)的解，则x = η₁– η₂ 为对应齐次线性方程组Ax = 0 的解。

性质4 设x = η 是方程(5)的解，x = ξ 是方程(2)的解，则x = η + ξ 仍是方程(5)的解。

1. 向量组及其线性组合

线性组合和线性表示只是概念的描述方式不同。

上章定理5，线性方程组Ax = b有解的充分必要条件是R(A) = R(A, b).

矩阵A与B行等价，即矩阵A经初等行变换变成矩阵B，则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合，即B的行向量组能由A的行向量组线性表示。

把向量组的线性组合、线性表示、等价等概念，移到线性方程组：对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一个方程就称为方程组A的一个线性组合；若方程组B的每个方程都是方程A的线性组合，就成方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组A的解一定是方程组B的解；若方程组A与方程组B能相互线性表示，就称这两个方程可互推，可互推的线性方程组一定同解。

上章定理6，矩阵方程AX = B有解的充分必要条件是R(A) = R(A, B).

线性组合、线性表示、线性相关

2. 向量组的线性相关性

线性组合、线性表示对一组数没有要求，线性相关要求不全为零的一组数。

方程组Ax = b线性相关的充要条件是矩阵B(A, b) 的行向量组线性相关。琢磨了好久

线性相关就是齐次线性方程组Ax = 0有非零解。

上章定理4，n元齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充要条件是R(A) < n.

向量组A线性相关，A中的某一向量可以由组中其他向量线性表示，齐次线性方程组Ax = 0有非零解，R(A) < n，R(A) < 向量个数

向量个数等于未知数x的个数，即元数。

|E| ≠ 0 可能是表示没有全零行，故R(E) = n，，，

向量组A线性无关，向量组B=(A, b)线性相关，则：R(A) = R(B) = m，方程组Ax = b有惟一解，向量b能由向量组A线性惟一表示。后面就是定理1了。

3. 向量组的秩

“A中每个向量都能由A组线性表示”，比如，（a₁ = k₁*a₁ + k₂*a₂ +…+ k_m*a_m 一组数为1, 0,…,0；a₂ = k₁*a₁ + k₂*a₂ +…+ k_m*a_m 一组数为0,1,0,…,0），同样地，A₀中每个向量也能有A₀线性表示。

“由定义5的条件(ii)知，对于A中任一向量a，r+1个向量a₁, a₂,…, a_r，a 线性相关，而a₁, a₂,…, a_r线性无关，根据定理5(3)知a能由a₁, a₂,…, a_r 线性表示”，对于既属于A₀中又属于A中的向量，以a₁为例，当一组数为(1, 0, 0, ..., 0)时有k₁*a₁ + k₂*a₂ +…+ k_r*a_r = a₁，即a₁能被A₀线性表示，这个与A₀是否线性相关无关。