n阶行列式的行数和列数相等，都为n。
二阶行列式，
三阶行列式，
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，为研究四阶及更高阶行列式，下面先介绍有关全排列的知识，然后引出n 阶行列式的概念.
排列及其逆序数，
逆序数，
对换，
3. n阶行列式的定义
为了给出n 阶行列式的定义，先来研究三阶行列式的结构. 三阶行列式定义为
仿此，可以把行列式推广到一般情形。
上/下三角行列式和对角行列式的结果都为主对角线的乘积。
4. 行列式的性质
转置行列式，沿着主对角线对折。
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
性质2 对换行列式的两行（列），行列式变号. 【下面是第1行和第3行对换的示例】
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.
性质3【乘法】 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k 乘此行列式.【很明显，计算行列式的每个数值都是从每行/列取出来的元的乘积a1p1a2p2a2p3】
推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.【把这个比例提到行列式记号外面，就有两行/列完全相同，根据性质2的推论，可得此行列式为零】
性质5【加法】 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i 行的元素都是两数之和：
【每行/列的元都参与乘积运算，可以根据乘法的结合律拆分】
性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.【根据性质5可以把右边的行列式拆分成两个之和，其中一个就是左边的行列式，另一个行列式，根据性质3的推论，可以把k提到行列式记号外面，就得到一个有两行/列相同的行列式，根据性质2的推论，该行列式为零】
后面的性质都是从前面的性质推导出来的，可以有很多。
例题，
对于求行列式而言，最重要的是性质6。
例7，
上述诸例都是利用运算ri + k*rj 把行列式化为上三角形行列式，用归纳法不难证明（这里不证）任何n 阶行列式总能利用运算ri + k*rj 化为上三角形行列式，或化为下三角形行列式（这时要先把a1n，…，an-，1 n化为0）.类似地，利用列运算ci + k*cj，也可把行列式化为上三角形行列式或下三角形行列式.
例11，
5. 行列式按行/列展开
一般说来，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便，于是，我们自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题.为此，先引进余子式和代数余子式的概念.
注意：M就是行列式，是一个数值。A是从M的基础上得到的。
例13，。。。