先来看一个直角三角形，如下左图：
$sin A$ 的值与三角形的边长有什么联系呢？
从右图可以看出，角 $alpha$ 的正弦对应单位圆上点的纵坐标，如果不理解可以先去阅读博客。
现在要求角 $A$ 的正弦，应该以点 $A$ 为圆心做单位圆，以边 $AC$ 为 $x$ 轴，那么有
$$sin A = y$$
根据比例关系得
$$frac{y}{a} = frac{1}{c}$$
所以
$$sin A = y = frac{a}{c}$$
可以这么理解：假如 $c = 1$，那么边 $CB$ 的长度 $a$ 直接就是角 $A$ 的正弦值，但是 $c eq 1$，所以需要做一个归一化，即 $frac{a}{c}$。
将形式变化一下：
$$frac{a}{sin A} = c$$
所以这个比值就是代表比例 $c$。现在不再是直角三角形了，换成任意一个三角形，如下左图：
此时角 $A$ 的对边 $a$，和角 $A$ 的正弦比值代表什么含义呢？
$$frac{a}{sin A} = ?$$
画出三角形的外接圆，如下图
易知 $angle A = angle D$，所以
$$frac{a}{sin A} = frac{a}{sin D}$$
$igtriangleup ABC$ 虽然不是一个直角三角形，但是 $igtriangleup BCD$ 是一个直角三角形，根据直角三角形的结论
$$frac{a}{sin A} = frac{a}{sin D} = 2R$$
所以
$$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C} = 2R$$
其中，$R$ 为三角形外接圆的半径。