任何一个线性变换都会有逆变换，逆变换矩阵作用于输出向量，能得到原向量。假如矩阵 $A$ 的逆变换是 $B$，则有
$$ Aalpha = eta \
Beta = alpha \
BAalpha = alpha $$
但这样的一个逆变换，交换位置之后却不一定能抵消，甚至连矩阵相乘的条件都不一定满足，即
$$AB
eq BA \
or ; BA ; is ; wrong$$
我们设想中的逆变换应该是这样的：变换 $A$ 和其逆变换 $B$ 不论谁先作用于向量，都应该相互抵消，即
$$ABalpha = BAalpha = alpha$$
那什么样的变换矩阵能满足我们理想中的逆变换呢？
1）$A$ 首先必须方阵，这样一来其逆变换矩阵也是方阵，两个矩阵就可以交换位置相乘。
2）共同作用后变化效果能相互抵消，因为单位矩阵作用于任何向量都是它本身，所以 $AB = BA = E$。
满足上述条件的逆变换矩阵称为逆矩阵，记为
$$A^{-1} = B ; or ; B^{-1} = A$$
任何变换矩阵都存在逆变换，逆变换 $ eq$ 逆矩阵，只有非奇异矩阵的逆变换才是逆矩阵。
关于逆矩阵的一些性质：
1）$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，可以根据定义来证明：$ABB^{-1}A^{-1} = B^{-1}A^{-1}AB = E$。
2）$k eq 0$ 时，$(kA)^{-1} = frac{1}{k}A^{-1}$，易根据定义证明：$kA cdot frac{1}{k}A^{-1} = frac{1}{k}A^{-1} cdot kA = E$。