向量运算与几何意义

1. 向量表示

向量指具有大小和方向的量，也称为矢量。可以从几何和坐标两个角度来表示。

1）几何表示

向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，也就是向量的长度。箭头所指的方向表示向量的方向。

长度为 0 的向量叫做零向量。长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量。

2）坐标表示

空间中有无数条有向线段，长度和方向相同的向量也有无数条，那如何表征一个向量呢？

在空间或者平面建立坐标系，任何一个向量都可以平移到以原点为起点的位置，这时就可以用向量终点的坐标来表征这个向量，记为

$$a = (x,y,z,...)$$

坐标表示和几何表示是不同的，几何表示的向量起点可以是任意位置，而坐标表示的向量起点只能是原点。

一个任意位置的向量如何求出它的坐标？用此向量的有向线段终点坐标减去始点坐标。

2. 基和坐标

在同一个线性空间中，任一个向量都可以在一组基下表示成一组坐标。不同的基就构成不同的坐标系。但基本身也可以被其它坐标系描述。

要描述向量需要具备两个条件：

1）确定一个线性空间，同一空间内的所有元素都具有相同的向量维度。

2）在确定的线性空间的基础上，选择该空间中的一组基，确定了基，就确定了向量的坐标。

线性空间是我们自己规定的完备的元素集合，一个向量可以放到不同的线性空间去表示，那么这些线性空间中的元素必是同维的，不同维度

的向量必定属于不同的线性空间。

基 $ eq$ 坐标系，但可作为坐标系，一般我们选取线性空间中的标准正交基作为参考系，来描述其它向量和其它基。

当基和坐标一一对应时，此时基向量的坐标肯定是 $(1,0,0,0...),(0,1,0,0,...),...$ 这样的形式，以三维空间为例，有

$$alpha = xi + yj + zk = xegin{pmatrix}
1\
0\
0
end{pmatrix}+ yegin{pmatrix}
0\
1\
0
end{pmatrix} + zegin{pmatrix}
0\
0\
1
end{pmatrix}=egin{pmatrix}
x\
y\
z
end{pmatrix}$$

需要明白的是：一组基可以被其它坐标系描述，故我们提到基，只是单纯的满足下列条件的向量组：

1）向量组线性无关。

2）线性空间中的任一个向量都可以由基线性表示。

基是线性空间中最大线性无关向量组，因为根据定义来看，给基中增加任一个向量都会是多余的。所以基中所含向量个数就是线性空间的维数。

在某一线性空间中，如果不取标准正交基，而是取任意角度和长度的线性无关向量组作为基来构成坐标系，想要写出空间上某点相对于它们的

坐标，还是比较麻烦的。所以，不论是其新的基还是向量我们都用笛卡尔坐标系中的坐标来表示。

下面我们在同一个线性空间，同一个参考系下，做一些进一步的阐述。

空间中的另一组基和某坐标乘积代表什么含义呢？

某个基在笛卡尔坐标系中的坐标为 $i^{'} = (1,1),j^{'} = (-1,1)$，另一个向量 $(2,0)$，如下图所示：

将该基 $i^{'},j^{'}$ 和向量 $(2,0)$ 做乘积

$$2i^{'}+0j^{'} = 2egin{pmatrix}
1\
1
end{pmatrix} + 0 egin{pmatrix}
-1\
1
end{pmatrix} = egin{pmatrix}
2\
2
end{pmatrix}$$

那这个代表什么含义呢？

从直观来看，输出的向量逆时针旋转了 $45$ 度，而新的基也相当于是标准基逆时针旋转了 $45$ 度。

可以从合成和分解的角度来看，原先的向量 $(2,0)$ 分解为 $x$ 分量和 $y$ 分量后，$x$ 分量上长度为 $2$，$y$ 分量上长度为 $0$，

现在依旧是分解后各个分量长度为 $2,0$，但变成了按 $i^{'},j^{'}$ 分解了，换句话说：找一个向量，将它沿 $i^{'},j^{'}$ 分解后，各分量的长度为 $2,0$。

所以上面这个式子就相当于在新的基下进行的矢量合成，或者说：笛卡尔坐标系中的原向量在新的基下产生相同效果的位置，因为新的基

是在笛卡尔坐标系下表示的，故合成的向量自然也是相同参考系下的坐标表示。

如何求原向量在以此新的基构建的坐标系中的坐标？

下面换一张图，我们想求向量 $(2,0)$ 在以基 $i^{'} = (0,2),j^{'} = (-2,0)$ 构建的坐标系中的坐标，可直接观察得坐标为 $(0,-1)$。

选定的参考系本身也是一组基，我们先来研究下这两组基之间的联系。

设空间中的两组基 $alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{r}$ 和 $eta_{1},eta_{2},...,eta_{r}$，当然它们首先必须在同一线性空间，同一参考系下被表示。

那必存在矩阵 $A$ 使得

$$(eta_{1},eta_{2},...,eta_{r}) = (alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{r}) cdot A$$

则称矩阵 $A$ 为从基 $alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{r}$ 到基 $eta_{1},eta_{2},...,eta_{r}$ 的过渡矩阵。

回到上面那个例子，有

$$egin{bmatrix}
0 & -2\
2 & 0
end{bmatrix} =
egin{bmatrix}
1 & 0\
0 & 1
end{bmatrix} egin{bmatrix}
0 & -2\
2 & 0
end{bmatrix}$$

过渡矩阵 $A = egin{bmatrix}
0 & -2\
2 & 0
end{bmatrix}$

那么如何根据过渡矩阵来推出同位置的向量在新的参考系中的坐标呢？

假如，向量 $s$ 在以基 $alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{r}$ 构成的坐标系中的坐标为 $x_{1},x_{2},...,x_{r}$，以基 $eta_{1},eta_{2},...,eta_{r}$ 构成的坐标系列

中的坐标为 $y_{1},y_{2},...,y_{n}$。考虑式子

$$x_{1}alpha_{1} + x_{2}alpha_{2} + ... + x_{r}alpha_{r} \
y_{1}eta_{1} + y_{2}eta_{2} + ... + y_{r}eta_{r}$$

这个式子的结果是什么含义呢？

由上面分析可知，这个式子是一个矢量的合成，一个向量不管用什么坐标系来表示，它的位置都是不会变的，但由于参考系不同，沿坐标轴

分解的效果也不同，但合成后都是同一个位置的向量，只是这个向量坐标表示不同。

现在我们将不同的基都采用同一个笛卡尔坐标系表示，那么合成后的向量就具有相同的参考系了，于是

$$x_{1}alpha_{1} + x_{2}alpha_{2} + ... + x_{r}alpha_{r} = y_{1}eta_{1} + y_{2}eta_{2} + ... + y_{r}eta_{r}$$

即

$$(alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{r})egin{pmatrix}
x_{1} \
x_{2}\
...\
x_{r}
end{pmatrix} =
(eta_{1},eta_{2},...,eta_{r})egin{pmatrix}
y_{1} \
y_{2}\
...\
y_{r}
end{pmatrix}$$

所以

$$egin{pmatrix}
x_{1} \
x_{2}\
...\
x_{r}
end{pmatrix} =
Aegin{pmatrix}
y_{1} \
y_{2}\
...\
y_{r}
end{pmatrix}$$

3. 向量运算

向量是线性空间(参考博客)中的元素，线性空间定义了加法和数乘运算，即向量的加法和数乘。那为向量规定了这两种运算，有什么数学或

几何含义呢？我们知道实数是可以加减或乘积的，实数表征一个量，即大小，它的运算表示了数量或大小的变化。那向量呢？很明显向量表

示 2 个量，即大小(长度)和方向，那么向量的加减和数乘其实就是向量大小和方向的变化。

1）加法运算

向量之间的加减运算，就是将一个向量作用于另一个向量上，使其大小和方向发生变化。

设向量 $a = (x_{1},y_{1}),b = (x_{2},y_{2})$。

加法运算是这样规定的：两个向量相加就是把这两个向量相应的坐标相加。

$$c = a + b = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$$

这样规定会产生什么效果呢？来看一个例子：