定义：试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，反映随机变量平均取值的大小。
期望 $ eq$ 算数平均值。
数学期望是从概率分布角度得到的，是个确定的常数，也可称为总体均值，算数平均值是来自有限个样本，是从统计的角度得到的，也可以称为样本均值。
比如我们进行掷骰子，掷了六次，点数分别为2，2，2，4，4，4，这六次的观察就是我们的样本值，于是我们可以说样本均值为 (2+2+2+4+4+4)/6 = 3，
但不能说期望是 3，期望应该是 (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5。
期望是与算术平均值通过大数定律联系在一起，概率是频率随样本趋于无穷的极限 ，即期望就是平均数随样本趋于无穷的极限。
如果我们掷了无数次的骰子，将其中的点数进行相加，然后除以他们掷骰子的次数得到均值，这个有无数次样本得出的均值就趋向于期望。
数学期望是针对一个随机变量的，它具有如下性质：
1）若 $C$ 为常数，则 $E(C) = C$。
2）若 $X$ 是随机变量，$C$ 是常数，则 $E(CX) = CE(X)$。
3）若 $X$ 和 $Y$ 是任意两个随机变量，则 $E(Xpm Y) = E(X)pm E(Y)$。
4）若 $X$ 和 $Y$ 是任意两个不相关的随机变量，则 $E(XY) = E(X)E(Y)$。
已知总体 $X$ 的概率分布，那如何求数学期望(总体均值)呢？
1. 总体 $X$ 为离散型
$X$ 的概率分布为
$$Pleft { X = x_{k} ight } = p_{k},k = 1,2,3,...$$
它的数学期望为
$$E(X) = sum x_{k}p_{k}, k=1,2,3,4...$$
如果累加的项有无穷个，则级数必须收敛，数学期望才存在。
离散型随机变量函数的数学期望：
1）设随机变量 $Y$ 是 $X$ 的函数，即 $Y = g(X)$，则 $Y$ 的数学期望为
$$E(Y) = E(g(X)) = sum g(x_{k})p_{k}, k=1,2,3,4...$$
2）设随机变量 $Z$ 是 $X$ 和 $Y$ 的函数，即 $Z = g(X,Y)$，则 $Z$ 的数学期望为
$$E(Z) = E(g(X,Y)) = sum g(x_{i},y_{j})p_{ij}, i,j=1,2,3,4...$$
2. 总体 $X$ 为连续型
对于连续型随机变量，对于连续型随机变量，是不讨论点概率的，即$Pleft { Y = y ight } = 0$ 或 $Pleft { X = x ight } = 0$。
这里利用极限的方法来逼近，给定任意一个固定的整数 $varepsilon$，则 $Pleft { x-varepsilon < X leq x+varepsilon ight } > 0$，于是有
$$Pleft { X = x ight } = lim_{varepsilon ightarrow 0}Pleft { x-varepsilon < X leq x+epsilon ight }$$
同离散随机变量类似，有
$$E(X) = sum_{i=1}^{+infty} x_{i}Pleft { X = x_{i} ight } = lim_{varepsilon ightarrow 0}sum_{i=1}^{+infty} x_{i}Pleft { x_{i} - varepsilon < X leq x_{i} + varepsilon ight } = lim_{varepsilon ightarrow 0}sum_{i=1}^{+infty} x_{i}f(x_{i})(2varepsilon)$$
求 $Pleft { x_{i} - varepsilon < X leq x_{i} + varepsilon ight }$ 就是求面积，由于 $varepsilon$ 无穷小，故就相当于求一个长方形的面积，可取区间内的任意一点，这里取为
$x_{i}$，则长方形高为 $f(x_{i})$，底为 2$varepsilon$。
由积分的定义可知
$$E(X) = int_{-infty}^{+infty}xf(x)dx$$
这是一个反常积分，要使期望存在，则该积分需收敛。
连续型随机变量函数的数学期望：
1）设随机变量 $Y$ 是 $X$ 的函数，即 $Y = g(X)$，则 $Y$ 的数学期望为
$$E(Y) = E(g(X)) = int_{-infty}^{+infty}g(x)f(x)dx$$
2）设随机变量 $Z$ 是 $X$ 和 $Y$ 的函数，即 $Z = g(X,Y)$，二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度是 $f(X,Y)$，则 $Z$ 的数学期望为
$$E(Z) = E(g(X,Y)) = int_{-infty}^{+infty}int_{-infty}^{+infty}g(x,y)f(x,y)dxdy$$