1什么是复杂度分析?
分别用时间复杂度(执行的快慢)和空间复杂度(内存的消耗 )两个概念来描述性能问题，二者统称为复杂度.
复杂度就是用来分析算法执行效率与数据规模之间增长关系。
2.为什么要进行复杂度分析?
1.和性能测试相比，复杂度分析有不依赖执行环境、成本低、效率高、易操作、指导性强的特点。
2.掌握复杂度分析，将能编写出性能更优的代码，有利于降低系统开发和维护成本。
3.如何进行数据结构和算法的复杂度分析?
1.大O表示法
1）来源
算法的执行时间与每行代码的执行次数成正比，用T(n) = O(f(n))表示，其中T(n)表示算法执行总时间，f(n)表示每行代码执行总次数，而n往往表示数据的规模。
2）特点
以时间复杂度为例，由于时间复杂度描述的是算法执行时间与数据规模的增长变化趋势，所以常量阶、低阶以及系数实际上对这种增长趋势不产决定性影响，所以在做时间复杂度分析时忽略这些项。
2.复杂度分析法则
1）单段代码看高频(只关注循环执行次数最多的一段代码)：比如循环。
1 int cal(int n) {
2 int sum = 0;
3 int i = 1;
4 for (; i <= n; ++i) {
5 sum = sum + i;
6 }
7 return sum;
8 }
其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关.4、5两行为循环执行次数最多的一段代码,
这两行代码执行了n次．所以复杂程度是Ｏ（ｎ）．
2）加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度：比如一段代码中有单循环和多重循环，那么取多重循环的复杂度。
１ int cal(int n) {
２ int sum_1 = 0;
３ int p = 1;
４ for (; p < 100; ++p) {
５ sum_1 = sum_1 + p;
６ }
７ int sum_2 = 0;
８ int q = 1;
９ for (; q < n; ++q) {
10 sum_2 = sum_2 + q;
11 }
12
13 int sum_3 = 0;
14 int i = 1;
15 int j = 1;
16 for (; i <= n; ++i) {
17 j = 1;
18 for (; j <= n; ++j) {
19 sum_3 = sum_3 + i * j;
20 }
21 }
22
23 return sum_1 + sum_2 + sum_3;
24 }
其中的4、５两行执行了１００次，与ｎ无关．
段代码循环 10000 次、100000 次，只要是一个已知的数(常量,与n无关),就可以忽略.因为时间复杂度表示的是一个算法执行效率
与数据规模增长的变化趋势.所以不管常量的执行时间对增长趋势并没有影响.
９、１０两段代码的时间复杂程度是O(n),１６、１７、１８、１９的时间复杂程度是O(n2)．所以这段代码的时间复杂程度是O(n2)．
3）乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积：比如递归、多重循环等
１ int cal(int n) {
２ int ret = 0;
３ int i = 1;
４ for (; i < n; ++i) {
５ ret = ret + f(i);
６ }
７ }
８
９ int f(int n) {
１０ int sum = 0;
１１ int i = 1;
１２ for (; i < n; ++i) {
１３ sum = sum + i;
１４ }
１５ return sum;
１６ }
第 4～6 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)．但第五行的 f(i)函数本身就是 O(n)，所以整个函数的复杂程度就是
T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。
四、常用的复杂度级别
多项式阶：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用，按照多项式的比例增长。包括，
O(1)（常数阶）、O(logn)（对数阶）、O(n)（线性阶）、O(nlogn)（线性对数阶）、O(n^2)（平方阶）、O(n^3)（立方阶）
非多项式阶：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用暴增，这类算法性能极差。包括，
O(2^n)（指数阶）、O(n!)（阶乘阶）
1. O(1)
int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;
O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有 3 行，
它的时间复杂度也是O(1），而不是 O(3)。
2. O(logn)、O(nlogn)
i=1;
while (i <= n) {
i = i * 2;
}
这段代码ｉ＜＝ｎ时结束，那么就是２的ｉ次方＝Ｎ．求得时ｉ的值．则x=log2n．时间复杂度就是 O(log2n)。
但是对数是可以相互转换的．例如log3n 就等于 log32 * log2n．所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中C=log32 是一个常量．
在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。
因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，，统一表示为 O(logn)。
那么O(nlogn)就是循环执行一段时间复杂程度是O(logn)的代码．
3. O(m+n)、O(m*n)
int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}
m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n.谁大．所以上面代码的复杂程度就不能用简单的加法法则．
不能省略掉其中复杂程度最小的一个．复杂程度就是O(m+n)．
加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m)+ g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n)= O(f(m) * f(n))。
空间复杂度分析
空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
１ void print(int n) {
２ int i = 0;
３ int[] a = new int[n];
４ for (i; i <n; ++i) {
５ a[i] = i * i;
６ }
７ for (i = n-1; i >= 0; --i) {
８ print out a[i]
９ }
１０ }
第３行申请了一个大小为ｎ的int类型数组．其他的代码没有占用更多的空间．所以整段代码的复杂程度就是O(n)
上面说了这么多,但是没有真正的用到有时候就不会真正的理解.所以想要真正的想要理解复杂分析度还是要多加练习.
本文是在学习王争老师的数据结构与算法之美的笔记.有些是王争老师或者评论的言语.在此附上原文链接
https://time.geekbang.org/column/article/40036