数论1——素数

素数，又叫质数，定义是除了1和它本身以外不再有其他的因数

我们通过这个定义，可以写如下程序判断一个数是不是质数

bool prime(int x){//判断x是不是质数，是返回true，不是返回false 
    if(x <= 1) return false; 
    for(int i = 2; i < x; i ++){
        if(x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

这个程序的时间复杂度是O(n)，有没有更快的方法，当然

看这个

bool prime(int x){//判断x是不是质数，是返回true，不是返回false 
    if(x <= 1) return false; 
    for(int i = 2; i <= sqrt(x + 0.5); i ++){//0.5是防止根号的精度误差 
        if(x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}
//另一种方法，不需要根号 
bool prime(int x){//判断x是不是质数，是返回true，不是返回false 
    if(x <= 1) return false; 
    for(int i = 2; i * i <= x; i ++){//用乘法避免根号的精度误差 
        if(x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}
//根据题目不同，如果i*i会爆int，记得开longlong

这个复杂度是O(√n),速度快多了（＃°Д°）

根据题目不同，有可能你需要先预处理出1~N这N个数是否是素数

如果用刚刚的方法，复杂度就是O(n√n)

#include<cstdio>
const int N = 100000 + 5;
bool prime[N];
bool is_prime(int x){
    if(x <= 1) return false; 
    for(int i = 2; i * i <= x; i ++){
        if(x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}
void init(){
    for(int i = 0; i < N; i ++){
        prime[i] = is_prime(i);
    }
}
int main(){
    init();
}

如果n大一点，就太慢了(｡･ω･)ﾉﾞ

介绍一种新方法，埃筛

埃筛--------------埃拉托斯特尼筛法，或者叫埃氏筛法

原理：如果找到一个质数，那么这个质数的倍数都不是质数

比如2是质数，那么4,6,8,10,12...都不是质数

然后看3是质数，那么6,9,12,15,18,21...都不是质数

然后看4，4已经被2标记为合数了，所以跳过

然后看5......这样一直筛下去

#include<cstdio>
const int N = 100000 + 5;
bool prime[N];
void init(){
    for(int i = 2; i < N; i ++) prime[i] = true;//先全部初始化为质数 
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        if(prime[i]){//如果i是质数 
            for(int j = 2*i; j < N; j += i){//从i的两倍开始的所有倍数 
                prime[j] = false; 
            }
        }
    }
}
int main(){
    init();
}

因为一些数字，比如6既被2的for循环经过又被3的for循环经过，所以复杂度不是O(n)

这个复杂度经过专业人士检验，复杂度O(nloglogn)（学过高数的小朋友可以自己证明≖‿≖✧当然也可以去百度）

知道原理后，我们再稍微优化一下就更快了

#include<cstdio>
const int N = 100000 + 5;
bool prime[N];
void init(){
    for(int i = 2; i < N; i ++) prime[i] = true;
    for(int i = 2; i*i < N; i ++){//判断改成i*i<N 
        if(prime[i]){
            for(int j = i*i; j < N; j += i){//从i*i开始就可以了 
                prime[j] = false;  
            }
        }
    }
}
int main(){
    init();
}

好戏都是要留到最后的≖‿≖✧确实还有O(n)的做法

这个算法名字叫线筛

#include<cstdio>
const int N = 100000 + 5;
bool prime[N];//prime[i]表示i是不是质数 
int p[N], tot;//p[N]用来存质数 
void init(){
    for(int i = 2; i < N; i ++) prime[i] = true;//初始化为质数 
    for(int i = 2; i < N; i++){
        if(prime[i]) p[tot ++] = i;//把质数存起来 
        for(int j = 0; j < tot && i * p[j] < N; j++){
            prime[i * p[j]] = false;
            if(i % p[j] == 0) break;//保证每个合数被它最小的质因数筛去 
        }
    }    
}
int main(){
    init();
}

这个方法可以保证每个合数都被它最小的质因数筛去

所以一个数只会经过一次

时间复杂度为O(n)

其实loglogn非常小，把埃筛看成线性也无妨，毕竟它比线筛好写

基于埃筛的原理，我们可以用它干很多事

比如预处理每个数的所有质因数

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
vector<int > prime_factor[N];
void init(){
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        if(prime_factor[i].size() == 0){//如果i是质数 
            for(int j = i; j < N; j += i){
                prime_factor[j].push_back(i); 
            }
        }
    }
}
int main(){
    init();
}

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比如预处理每个数的所有因数

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
vector<int > factor[N];
void init(){
    for(int i = 2; i < N; i ++){ 
        for(int j = i; j < N; j += i){
            factor[j].push_back(i); 
        }
    }
}
int main(){
    init();
}

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比如预处理每个数的质因数分解

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
vector<int > prime_factor[N];
void init(){
    int temp;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        if(prime_factor[i].size() == 0){
            for(int j = i; j < N; j += i){
                temp = j;
                while(temp % i == 0){
                    prime_factor[j].push_back(i);
                    temp /= i;
                }  
            }
        }
    }
}
int main(){
    init();
}

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