剑指offer系列——46.孩子们的游戏（圆圈中最后剩下的数）

Q：每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)
如果没有小朋友，请返回-1
T：（约瑟夫环问题）
1.使用单向循环链表（或者使用list，vector，queue都可以，whatever，方便就好）：

struct ListNode {
    int val;
    struct ListNode *next;
    ListNode(int x) :
            val(x), next(NULL) {
    }
};

    int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if (n == 0 || m == 0)
            return -1;
        ListNode *head = new ListNode(0);
        ListNode *list = head;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            ListNode *temp = new ListNode(i);
            list->next = temp;
            list = list->next;
        }
        list->next = head;
        while (list->next != list) {
            for (int i = 0; i < m - 1; i++)
                list = list->next;
            ListNode *temp2 = list->next;
            list->next = temp2->next;
            temp2->next = nullptr;
            free(temp2);
        }
        return list->val;
    }

2.约瑟夫环公式
因为数据是放在数组里，所以我在数组后面加上了数组的复制，以体现是环状的。我们先忽略图片里的箭头：

很明显我们每次删除的是第m个数字，我都标红了。
第一轮是 [0, 1, 2, 3, 4] ，所以是 [0, 1, 2, 3, 4] 这个数组的多个复制。这一轮 2 删除了。
第二轮开始时，从 3 开始，所以是 [3, 4, 0, 1] 这个数组的多个复制。这一轮 0 删除了。
第三轮开始时，从 1 开始，所以是 [1, 3, 4] 这个数组的多个复制。这一轮 4 删除了。
第四轮开始时，还是从 1 开始，所以是 [1, 3] 这个数组的多个复制。这一轮 1 删除了。
最后剩下的数字是 3 。

图中的绿色的线指的是新的一轮的开头是怎么指定的，每次都是固定地向前移动m个位置。最后剩下的 3 的下标是 0 。
第四轮反推，补上m个位置，然后模上当时的数组大小 2，位置是（0 + 3 ) % 2 = 1 。
第三轮反推，补上m个位置，然后模上当时的数组大小 3，位置是 (1 + 3) % 3 = 1 。
第二轮反推，补上m个位置，然后模上当时的数组大小 4，位置是 (1 + 3) % 4 = 0 。
第一轮反推，补上m个位置，然后模上当时的数组大小 5，位置是 (0 + 3) % 5 = 3 。
所以最终剩下的数字的下标就是 3 。因为数组是从0开始的，所以最终答案就是 3 。
总结一下反推的过程，就是 **(当前index + m) % 上一轮剩余数字的个数 **。
约瑟夫环问题的公式：(f(n,m) = (f(n-1, m) + m) mod n)
虽然不是在证明这个公式，但是通过这种方式，希望你能理解这个公式。

    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n == 0)
            return -1;
        if(n == 1)
            return 0;
        else
            return (LastRemaining_Solution(n - 1, m) + m) % n;
    }