【数论】-素数问题整理

1.素数定理: π(x)~x/ln(x)

其中π(x)是不超过x的范围中素数的个数，当x非常大时，π(x)与x/ln(x)比较接近。

2.埃拉托色尼筛法

应用：可以快速找到[2, n]内所有的素数。操作步骤如下：

（1）输出最小的素数2，然后筛掉2的倍数

（2）输出最小的素数3，然后筛掉3的倍数

（3）输出最小的素数5，然后筛掉5的倍数

继续以上步骤，直到操作到n

例题：hdu 2710

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
const int N=2e4+5;
int nprime[N],cnt=0;
void table(){
    nprime[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!nprime[i]){//直接记录i的最大素因子 
            nprime[i]=i;
            for(int j=i+i;j<N;j+=i)
            nprime[j]=i;
        }
    }
}
int main(){
    table();
    int t;
    while(cin>>t){
        int maxx=0,ans;
        while(t--){
            int n;
            cin>>n;
            if(nprime[n]>maxx)maxx=nprime[n],ans=n;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    
}

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3.算术基本定理

（1）若n的标准素因子分解表达式为n=p_1^a1*p_2^a2*...*p_{k^{ak，设d（n）为n的正因子个数，f（n）为n的所有因子之和，则有}}

d（n）=（a1+1）*（a2+1）*...*（ak+1）

f（n）=（p₁^a1+1-1/p₁-1）*（p2^a2+1-1/p2-1）*..*（pk^ak+1-1/pk-1）

（2）n！的素因子分解中的素数p的幂为[n/p]+[n/p²]+[n/p3]+...

4.梅森素数

定义：M_p=2^p-1，当p为素数，且M_p为素数，则称M_p为梅森素数

当p为第几个素数，则称M_p为第几个梅森数

判定：

Lucas-Lehmer判定法：判定一个梅森数是否是梅森素数

设p是素数，第p个梅森数为Mp为2^p-1,r1 = 4,对于k >= 2

r(k) = r(k-1)^2-2(modM(p)), 0 <= r(k) <= M(p)

可以得到r(k)序列,则有M(p)是素数，当且仅当r(p-1) = 0(mod M(p))

涉及知识：

卢卡斯－莱默检验法原理

假设我们想验证M₃ = 7是素数。我们从s=4开始，并更新3−2=1次，把所有的得数模7：

s ← ((4 × 4) − 2) mod 7 = 0

由于我们最终得到了一个能被7整除的s，因此M3是素数。

另一方面，M11 = 2047 = 23 × 89就不是素数。我们仍然从s=4开始，并更新11−2=9次，把所有的得数模2047：

s ← ((4 × 4) − 2) mod 2047 = 14
s ← ((14 × 14) − 2) mod 2047 = 194
s ← ((194 × 194) − 2) mod 2047 = 788
s ← ((788 × 788) − 2) mod 2047 = 701
s ← ((701 × 701) − 2) mod 2047 = 119
s ← ((119 × 119) − 2) mod 2047 = 1877
s ← ((1877 × 1877) − 2) mod 2047 = 240
s ← ((240 × 240) − 2) mod 2047 = 282
s ← ((282 × 282) − 2) mod 2047 = 1736

由于s最终仍未能被2047整除，因此M11=2047不是素数。但是，我们从这个检验法仍然无法知道2047的因子，只知道它的卢卡斯-莱默余数1736。

思路：输入p，先求出2^p-1，循环求r(k) = (r(k-1)²-2)%M_p