一、计算(每小题10分,共80分)
1.设$m$为正整数,求$displaystylelimlimits_{n o +infty}left(frac{1}{m} sumlimits_{k=1}^{m}sqrt[n]{k}
ight)^{n} .$
2.求$displaystyle limlimits_{x o +infty}int_{x}^{x+1}frac{sin^{2}{t}}{t+cos{t}}dt.$
3.设 $displaystyle limlimits_{x o 0 } frac{ (2x-sin{2x})arcsin{x} }{ e^{ -frac{x^{2}}{2} } -cos{}x } . $
4.求$displaystyleint_{0}^{pi}frac{ 2cos{x} }{sin{x} + cos{x} }dt.$
5.求球体$ displaystyle x^{2} + y^{2} +z^{2} le 1$被柱面$ displaystyle x^{2}+y^{2} =x$所截出部分的体积.
6.设流速为$displaystyle overrightarrow{v}=(x,y,z) $的不可压缩流体单位时间内穿过圆锥体$x^{2}+y^{2}le z^{2}(0le zle h)$表面的流量,表面法向量朝外.
7.求积分$displaystyle int_{L} frac{ xdy-ydx }{x^{2} +2y^{2}},$其中$L$为不过原点的简单闭曲线,$L$取顺时针方向.
8.求幂级数$displaystyle sumlimits_{n=1}^{infty} (n+1)(x+1)^{n}$的收敛域与和函数.
二、(20分,每小题5分)判断下列命题是否正确.若正确,给出证明;若不正确,举例说明.
1.对任意$varepsilon>0,f$在$ [a+varepsilon,b-varepsilon] $上连续,则$f$在$(a,b)$上连续.
2.函数$displaystyle f(x)$在$mathbb{R}$上可导,则$f'(x)$在$mathbb{R}$上连续.
3.$f,g$为$mathbb{R}$上的连续函数,则$fleft( min{ g(x) ,1 }
ight)$关于$x$在$mathbb{R}$上一致连续.
4.$ f: mathbb{R}^{2} o mathbb{R}^{2}$可微,$x,y in mathbb{R}^{2}$,则存在$ heta in (0,1)$使得$$ f(y)-f(x)=f'(x+ heta (y-x))(y-x)$$.
三、(10分) 若正项级数$displaystyle sumlimits_{n=1}^{infty} a_{n}$收敛,且数列$displaystyle { a_{n} }$单调,证明:$displaystylelimlimits_{n o infty}na_{n}=0.$
四、(15分) 讨论积分$displaystyle int_{0}^{1}frac{1}{ x^{p} |ln{x} | ^{q} }dx$的敛散性,其中$displaystyle p.q in (0,+infty).$
五、(10分) $displaystyle f_{x}(x,y) $在$displaystyle (0,0)$处连续$displaystyle f_{y}(x,y) $在$displaystyle (0,0)$处存在,证明:$displaystyle f(x,y)$在$displaystyle (0,0)$处可微.
六、(15分) 函数$displaystyle f,g$在$displaystyle (-1,1)$上可导, 对任意$displaystyle xin (-1,1)$有$displaystyle g'(x)
ot =0.$.若$displaystyle limlimits_{x o 0} g(x)=infty,limlimits_{x o 0} frac{f'(x)}{g'(x)}=1,$证明:当$displaystyle x o 0$时$f(x)$和$g(x)$是等价无穷大量.