一、(本题满分10分) 求极限$displaystyle limlimits_{n o infty}left( n-frac{1}{e^{frac{1}{n}}-1} ight)$
二、(本题满分15分) 设函数$f(x)$在$[0,1]$上二阶可导,满足$displaystyle | f''(x)|le 1,f(x)$在区间$(0,1)$内取最大值$displaystyle frac{1}{4}$,
证明:$| f(0)|+|f(1)| le 1.$
三、(本题满分15分) 设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续可导,且$displaystyle f(0)=f(1)=0$.证明:$$ int _{0}^{1} left| f(x)f'(x) ight| dxle frac{1}{4}int_{0}^{1}[f'(x)]^{2}dx.$$
四、(本题满分20分) 证明函数项级数$displaystyle sumlimits_{n=1}^{infty}left( -1 ight)^{n+1}frac{1}{n^{x}}$在$(0,+infty)$上不一致收敛,
但在$(0,+infty)$有连续导数.
五、(本题满分15分) 计算曲面积分$displaystyle iintlimits_{S}frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{left(x^{2}+y^{2}+z^{2} ight)^{frac{3}{2}}}$.其中$S$是椭球面:$displaystyle frac{x^{2}}{a^2}+frac{y^{2}}{b^{2}}+frac{z^{2}}{c^{2}}=1(zge0)$的上侧.