一、(本题满分15分)试求极限$displaystyle limlimits_{n o infty}sumlimits_{k=1}^{n}sin frac{k}{n^{2}}$.
二、(本题满分15分)已知数列${x_{n}}$满足:对一切$n$都有$displaystyle left( a+frac{1}{n} ight)^{n+x_{n}}=e$成立.求$displaystyle limlimits_{n o infty}x_{n}$.
三、(本题满分15分)计算二重积分:$displaystyle iint_{D}e^{-(x+y)^{2}}dxdy $,其中$D$由$x+y=1,y=x,x=0$所围成.
四、(本题满分15分)若$displaystyle -infty <a<b<c<+infty,f(x)$在$[a,c]$上连续,且$f(x)$在$(a,c)$上二阶可导.求证:存在$xi in (a,c)$使得:
$$frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}+frac{f(b)}{(b-c)(c-b)}+frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}=frac{1}{2}f''(xi)$$
成立
五、(本题满分15分)对所有$xin (0,+infty)$,级数$displaystyle sumlimits_{n=1}^{infty}a_{n}x^{n}$都收敛,且$displaystyle sumlimits_{n=1}^{infty}n!a_{n}$收敛.
证明:$displaystyle int_{0}^{+infty}left(sumlimits_{n=1}^{infty}a_{n}x^{n}e^{-x} ight)dx=displaystyle sumlimits_{n=1}^{infty}n!a_{n}$.