考研数学方法总结

方程根问题

存在性

(f(x)=0)在([a,b])上有根

• 令(F(x)=f(x)) ，得 (F(a)F(b)<0)，根据零点定理可得
• 令(F'(x)=f(x)) ，得 (F(a)=F(b))，根据罗尔定理可得

根的个数

唯一根

1. 证明存在性
2. 证明单调性(f'(x)<0(>0))可得

多少根

1. 令(F(x)=f(x))，然后求导
2. 得驻点和不存在的点，画图，若无法解出猜，罗尔定理推论
3. 每个单调区间的端点，极值点，可得结果

变极积分函数

定义

([int_a^x f(x)dx]'=f(x))，若(f(x))连续，则(int_a^x f(x)dx)可导

考点

1. (f(x))为分段函数，求(int_a^x f(x))，画个(f(x))的图
2. (f(x))为分段函数，在分段点的连续性与可导性（考试重点），这个时候

(f(x))	(int_a^x f(x))
可积	连续
连续	可导
(x_0)为可去间断点	(x_0)处可导
(x_0)为跳跃间断点	(x_0)连续但不可导

3. 求导
4. 无穷小比阶

• (int_0^{g(x)} f(x)dx=int_0^{x^n} x^mdx)等价于(x^{(m+1)n})（这个方法视情况而用，我总觉的求个导更快）