考研线性代数

行列式

行列式就是一个数或者一个式子

定义

  • 逆序： 若(i<j - (i,j))称为正序，若(i>j - (i,j))称为逆序
  • 逆序数：一个排列里面包括的逆序的总个数
  • n阶行列式：n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项
  • 余子式：行列式划去该元素所在的行与列的各元素,剩下的元素按原样排列,得到的新行列式
  • 代数余子式：行列式某元素的余子式与该元素对应的正负符号的乘积
  • (A_{ij}=(-1)^{(i+j)}M_{ij}) 其中 (A_{ij})为代数余子式，(M_{ij})为余子式

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易算行列式

  • 对角行列式：上三角，下三角，对角都为主对角线乘积
  • 范德蒙行列式

[V_n= left[ egin{matrix} 1 & 1 & cdots & 1 \ a_1 & a_2 & cdots & a_n \ a^2_1 & a^2_2 & cdots & a^2_n \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a^{n-1}_1 & a^{n-1}_2 & cdots & a^{n-1}_n \ end{matrix} ight]=prod_{1leq j<ileq n}(a_i-a_j) ]

(V_n!=0) 充分必要 (a_1,a_2,a_3 cdots a_n)两两不等

计算性质

  • 行列式与其转化行列式相等，即(D=D^T)
  • 对调两行或者两列改变符号
  • 行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面
  • 若行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式值为零
  • 若行列式某两行（或列）元素相同或者成比例，则该行列式值为零

[left[ egin{matrix} a_1+b_1 & c_1 \ a_2+b_2 & c_2 \ end{matrix} ight] = left[ egin{matrix} a_1 & c_1 \ a_2 & c_2 \ end{matrix} ight] + left[ egin{matrix} b_1 & c_1 \ b_2 & c_2 \ end{matrix} ight] ]

[left[ egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{j1} & a_{j2} & cdots & a_{jn} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight]= left[ egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{j1}+ka_{i1} & a_{j2}+ka_{i2} & cdots & a_{jn}+ka_{in} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight] ]

矩阵

矩阵是一个表格

定义

  • 矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合， 有m行n列
  • n阶方阵：当(m==n)时，称为n阶方阵
  • 同型矩阵：两个矩阵行数和列数相等
  • 相同矩阵：两个矩阵一摸一样
  • 零矩阵：所有元素都为0
  • 伴随矩阵：先为n阶方阵，变成一个只有数值相等的行列式，求出所有的余子式进行排列，得出的新的矩阵就为伴随矩阵，记作(A^*)，(A*A^*=A^**A=|A|E)

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  • 矩阵合同：A，B为n阶实对称方阵，若存在可逆矩阵P，使得(P^TAP=B)，称A，B合同。A，B合同的充分必要条件为A，B的特征值中正，负及零的个数相同
  • 正交矩阵：(AA^T=E)，则(A^{-1}=A^T)
  • 矩阵等价：矩阵A通过初等变换变成矩阵B，(B=QAP)，则A，B矩阵等价。等价的充要条件为(r(A)=r(B))

运算

  • 加减乘，没有除法，乘法没有交换律
  • 加减法：必须同型，对应元素相加减
  • 一个数与矩阵乘，所有元素都乘
  • 两个矩阵相乘：(A_{m*n}*B_{n*s}=C_{m*s})，内标同可乘，外标确定型,左边取行，右边取列

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注意点

  • (A,B)为两个矩阵
  • (A eq 0)，(B eq 0)，得不出(A*B eq 0)
  • (A eq 0) ，得不出(A^k eq 0)
  • (A*B eq B*A)

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性质

  • (|A^T|=|A|)
  • ((AB)^T=B^TA^T)
  • (|AA^T|=|A|^2)
  • (|A^*|=|A|^{n-1})

[left[ egin{matrix} A & 0 \ 0 & B end{matrix} ight] = left[ egin{matrix} A & C \ 0 & B end{matrix} ight] = left[ egin{matrix} A & 0 \ D & B end{matrix} ight] =|A|*|B| ]

  • (|kA|=k^n|A|)
  • 拉普拉斯法则 (A_{nn},B_{nn})，(|AB|=|A|*|B|)

背景

  • (AX=b) 表示线性方程组，(A)为n阶方阵，若存在n阶矩阵(B)，使得(BA=E)，则(BAX=Bb)得(X=Bb)

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逆矩阵

定义

  • (A)为n阶方阵，若存在n阶矩阵(B)，使得(BA(AB)=E)，则称(A)可逆，(B)为(A)的逆阵，(B)=(A^{-1})

求解方法

  • 判断可逆的条件 (A_{nn})，(A)可逆充分必要(|A| eq 0)
  • 方法一 伴随矩阵法：(A*A^*=|A|E),则(A* dfrac{A^*}{|A|} =E)
  • 方法二 初等变换法
  • (E(i(k)))代表第i行乘以k
  • (E(ij(k)))代表的是第j行乘以k加到i行，或者第i列乘以k加到j列
  • 利用((A|E))进行操作
  • 但如果找不出到n阶矩阵(B)，则要研究矩阵的秩

秩

本质是方程组的约束条件的个数

定义

矩阵(A_{m*n})中任取r行r阶而形成的r阶行列式，称为A的r阶子式。

  1. 如果(exists r)阶子式不为零
  2. (forall r+1) 阶子式都为零

则称A的秩为r，记r(A)=r

性质

  • (A_{n*n})，(|A| ot=0)则(A)可逆，满秩(r(A)=n)
  • (A_{m*n})，则(r(A)<=min[n,m])
  • (r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)) 。见到(AA^T,A^TA)用此性质
  • (A,B)是同型矩阵，则(r(Apm B) leq r(A) +r(B))。见到(A+B,A-B,r(A)+r(B))用此性质
  • (alpha ^Teta) 左转右不转为数，(alpha eta ^T) 左不转右转为矩阵
  • (A_{m*n},B_{n*s})则(r(AB)leq min [r(A),r(B)])。见到(AB)用此性质
  • 若(A=BP)，P可逆，则(r(A)=r(B))
  • (A_{m*n},B_{n*s})且(AB=0)则(r(A) +r(B)leq n)。见到(AB=0)用此性质

[r(A^*)= egin{cases} n,r(A)=n \ 1,r(A)=n-1 \ 0,r(A)<n-1 end{cases} ]

  • (max(r(A),r(B))leq r(dfrac{A}{B})leq r(A+B))
  • (max(r(A),r(B))leq r(A|B)leq r(A+B))

向量

定义

  • 向量 ：n维向量组，一般默认情况下是列向量

[alpha = egin{bmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \ cdots\ a_n end{bmatrix} ]

  • 模是指向量的大小，(|alpha |=sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^n}) ，当(alpha ==1) ，(alpha)为单位向量或者规范向量
  • (alpha^o= dfrac{1}{|alpha | }alpha) 是指(alpha)的单位化
  • 内积 ((alpha ,eta)=(eta ,alpha)=alpha^Teta=eta^T alpha=a_1*b_1+a_2*b_2+....a_n*b_n)
  • 正交：如果 ((alpha ,eta)==0)，称(alpha , eta)正交，记作(alpha ot eta)

相关性

  • 对于齐次线性方程组 (x_1alpha_1+x_2alpha_2+....+x_nalpha_n=0)
  • 若方程组只有零解，则称向量(alpha_1,alpha_2,...alpha_n)线性无关，(x_1=x_2=..=x_n=0)
  • 若方程组有非零解，则称向量(alpha_1,alpha_2,...alpha_n)线性相关

线性表示

  • 对于非齐线性方程组 (x_1alpha_1+x_2alpha_2+....+x_nalpha_n=b)
  • 若方程组有解，则称向量b可由向量(alpha_1,alpha_2,...alpha_n)线性表示
  • 若方程组无解，则称向量b不可由向量(alpha_1,alpha_2,...alpha_n)线性表示

向量组的性质

  • (alpha_1,alpha_2,...alpha_n)线性相关充要条件(alpha_1,alpha_2,...alpha_n)中至少有一个向量可由其余向量向量线性表示
  • (alpha_1,alpha_2,...alpha_n)线性无关，(alpha_1,alpha_2,...alpha_n,b)线性相关，则b可由 (alpha_1,alpha_2,...alpha_n)唯一线性表示
  • 全组无关 (Rightarrow) 部分组无关
  • 部分组相关 (Rightarrow) 全组相关
  • (alpha_1,alpha_2,...alpha_n)n个n维向量，则(alpha_1,alpha_2,...alpha_n)线性相关的的充分必要条件为(|alpha_1,alpha_2,...alpha_n|=0)
  • (alpha_1,alpha_2,...alpha_n)为n个m维向量，若(m<n),则(alpha_1,alpha_2,...alpha_n)一定是线性相关
  • 添加向量的个数提高相关性，添加维数提高无关性

向量组等价

  • (alpha_1,alpha_2,...alpha_n)，(eta_1,eta_2,...eta_n)是两个维度相等的向量组，若(eta_1,eta_2,...eta_n)可由向量组(alpha_1,alpha_2,...alpha_n)线性表示，(alpha_1,alpha_2,...alpha_n)可由向量组(eta_1,eta_2,...eta_n)线性表示，则两个向量组等价

极大线性无关组和秩

  • 通俗的说就是把线性相关的垃圾扔掉
  • 对于(alpha_1,alpha_2,...alpha_n)，存在r个向量线性无关，任意r+1个向量线性相关，则r个线性无关的向量组称为极大线性无关组，称r为向量组的秩
  • 极大组不一定唯一
  • (alpha_1,alpha_2,...alpha_n)线性无关充要条件(alpha_1,alpha_2,...alpha_n)为极大线性无关组充要条件(alpha_1,alpha_2,...alpha_n)的秩为n
  • (A_{m*n},B_{n*s}=(eta_1,eta_2,...eta_n),AB=A(eta_1,eta_2,...eta_n)=(Aeta_1,Aeta_2,...Aeta_n))

向量组秩的性质

  • 矩阵A，则矩阵A的秩= A的行向量组的秩=A的列向量组的秩
  • (alpha_1,alpha_2,...alpha_n)线性相关， 则(r(A)<n)
  • (I_1=alpha_1,alpha_2,...alpha_n)，(I_2=eta_1,eta_2,...eta_n)，如果(I_1)可由(I_2)线性表示，则(r(I_1)<r(I_2))
  • 等价的向量组秩相等
  • 研究一组向量组的秩和矩阵的秩联系起来

等价转换

  • (AX=0)

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  • (AX=b)

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线性方程组

[egin{cases} AX=0 quad (*) \ AX=b quad (**) end{cases} ]

基本定理

  • ((*))只有零解，则(r(A)=n)
  • ((*))非零解，则(r(A)<n)
  • ((**))无解，则(r(A) eq r(overline{A}))
  • ((**))有解，则(r(A)= r(overline{A}))
  • (X_1,...,X_N)为((**))的一组解，则(k_1X_1,...,k_nX_N)为((**))的解充分必要条件为(k_1+...+k_n=1)
  • (X_1,...,X_N)为((**))的一组解，则(k_1X_1,...,k_nX_N)为((*))的解充分必要条件为(k_1+...+k_n=0)
  • (A_{m*n},B_{n*s}=(eta_1,eta_2,...eta_n),AB=0)，则(eta_1,eta_2,...eta_n)为(AX=0)的解
  • (A_{m*n})该向量组所含的解向量的个数(S=n-r(A))

求通解

  • 先阶梯化，找到自由变量和约束变量
  • 非齐的通解=齐次的通解+一个特解

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矩阵的特征值和特征向量

定义

  • (A_{n*n})（研究对象的是方阵），存在(lambda)（一个数），存在向量(alpha(alpha ot= 0))，使得 (Aalpha=lambda alpha)，(lambda)就叫特征值，(alpha)叫做特征向量
  • (Aalpha=lambda alpha)，((lambda -A) alpha=0)，则(AX=0)存在非零解，则(|lambda E-A|=0)
  • 特征方程 (|lambda E-A|=0)
  • 矩阵相似：(A,B)都为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得(P^{-1}AP=B),称A,B相似，记作(A)~(B)

概念认知

  • 特征方程 (|lambda E-A|=0)解得 (lambda_1,lambda_2,...,lambda_n)
  • (lambda_1+lambda_2+,...,+lambda_n=a_{11}+a_{22}+..+a_{nn}=tr(A)=(alpha ,eta))（(tr(A))为A的迹）
  • (lambda_1lambda_2...lambda_n=|A|)
  • 设(lambda_0)为特征值，(lambda_0)对应的特征向量为((lambda_0 E-A)X=0)的非零解
  • 若(A)~(B)，则(|lambda E-A|=|lambda E-B|)，A，B的特征值相等，反之不成立
  • 若(A)~(B) ，则(|A|=|B|，tr(A)=tr(B))

一般性质

  • 重要性质 对于(A_{n*n})的特征值(lambda_1,lambda_2(lambda_1 ot=lambda_2))， ((lambda_1 E-A)X=0)解的基础解系为(alpha_1,...alpha_n)， ((lambda_2 E-A)X=0)解的基础解系为(eta_1,...eta_n)，
    则(alpha_1,...alpha_n,eta_1,...eta_n)线性无关
  • 对于(Aalpha=lambda_0 alpha)，(f(A)alpha=f(lambda_0)alpha)
  • 若(A)可逆，则(A^{-1}alpha=dfrac{1}{lambda_0}alpha)，(A^{*}alpha=dfrac{|A|}{lambda_0}alpha)，说明(A^{*},A^{-1},A)公用一个特征向量
  • 对于(A_{n*n})，则A可相似对角化充要条件A有n个线性无关的特诊向量
  • A为方阵，(r(A)geq)非零特征值的个数
  • A可对角化，则(r(A)=)非零特征值的个数
  • A为n阶方阵，则(n=)特征值的个数，重数算多个
  • (A=alpha eta^T)，则(tr(A)=(alpha, eta))(矩阵写出来就明白了)

实对称矩阵性质

以下所有的的性质都是只有实对称矩阵才拥有的性质

  • (A^T=A)
  • (lambda_1 ot=lambda_2)，(Aalpha=lambda_1 alpha)，(Aeta=lambda_2 eta)，可得(alpha ot eta)
  • (A^T=A Longrightarrow lambda_iin R(1leq ileq n))
  • (A^T=A Longrightarrow) A可对角化

施密特正交化

  • 正交化

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  • 规范化（通俗点讲就是单位化）

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正交矩阵

定义

对于(A_{n*n})，若(A^TA=E)，则称A为正交矩阵

性质

  • (A^T=A^{-1})
  • (|A^T|*|A|=1)，(|A|^2=1)，(|A|=pm 1)

充要条件

  • (Q=(gamma_1,...,gamma_n))，(Q^TQ=E)充要条件为(gamma_1,...,gamma_n)两两正交且单位

对角化过程

(A^T ot=A)不是实对称矩阵的情况

  1. ((lambda E-A)X=0) ，求出特征值 (lambda_1,..,lambda_n)
  2. ((lambda_i E-A)X=0) ，求出所有的基础解系 (alpha_1,...alpha_m(mleq n)) ，所有基础解系线性无关
  3. 若((mleq n))，A不可对角化
  4. 若((m== n))，A可对角化 ，((Aalpha_1,Aalpha_2,...Aalpha_n)=(lambda_1alpha_1,lambda_2alpha_2,...,lambda_nalpha_n)),得
    (AP=P*)对角化解

(A^T=A)是实对称矩阵的情况

  1. ((lambda E-A)X=0) ，求出特征值 (lambda_1,..,lambda_n)
  2. ((lambda_i E-A)X=0) ，求出所有的基础解系 (alpha_1,...alpha_n) 必定为n，个数不会少，必定可以对角化，所有基础解系线性无关
  3. 方法一：找可逆阵P

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  1. 方法二：施密特正交化，求出(Q=(gamma_1,...,gamma_n)) ，得
    (AQ=Q*)对角化解

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λ的求法

  • 公式法：(|lambda E-A|=0)
  • 定义法：(Aalpha =lambda alpha(alpha ot=0))
  • 关联法：

[egin{cases} A^{-1}，A^{*}，A 特征向量相同 \ P^{-1}AP=B，AB相似，AB特征值相等 end{cases} ]

矩阵对角化的判断

  • 若(A^T=A)，则A可对角化
  • 若(A^T ot =A) ，先求出特征值 (lambda_1lambda_2...lambda_n),若满足下列条件之一（1）(lambda_1lambda_2...lambda_n)单值（2）每个特征值重数与无关特侦向量个数一致，则A可对角化

判断两个矩阵是否相似

  1. (|lambda E-A|=|lambda E-B|),即为 (lambda)必须相等

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求A^m

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二次型

顾名思义就是二次多项式，例如(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2-3x_2^2+x_3^2)就是一个二次型

定义

  • 二次型：含n个变量(x_1,..,x_n)，且每次都是二次的齐次多项式，则(f(x)=X^TAX)
  • 标准二次型：只有平方项，充要条件为A为对角矩阵
  • 非标准二次型：有交叉项，譬如(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1x_2)，充要条件为A为实对称矩阵但不对角
  • 规范二次型：系数为1和-1的标准型，称为二次型的规范形
  • 二次型的标准化

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  • 矩阵合同：A，B为n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得(P^TAP=B)，称A，B合同。A，B合同的充分必要条件为A，B的特征值中正，负及零的个数相同

标准化

原来不标准变成标准

  • 配方法

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  • 正交变换法

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正定二次型

定义

  • 对于二次型(f(x_1,x_2,...,x_n)=X^TAX)，若对任意(X ot =0)，总有(X^TAX>0)，则称(X^TAX)为正定二次型，A称为正定矩阵。
  • 例如：(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+x_3^2)，对于任何的(x_1,x_2,x_3)有(f(x_1,x_2,x_3)geq0)，若(f(x_1,x_2,x_3)=0)当且仅当(x_1=x_2=x_3=0),或对任意(X ot = 0,X^TAX>0)

判别方法

  1. 二次型(X^TAX)为正定二次型的充分必要条件为A的特征值全为正数

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